阶乘的计算以及大数的表示

一、精确计算1000!的阶乘

1000!有多大呢？拿微软自带的计算器一算，结果是4.02*10^2567，共有2568位。

在C语言中我们没有能够精确表示这个数字的数据类型。

如果非要计算，那么只能以数组的形式存放每一位数字。

代码不太难，如下：

#include <stdio.h>
#include <string.h>

#define maxn 3000

int f[maxn];

int main()
{
    int i, j, n;
    scanf("%d", &n);
    memset(f, 0, sizeof(f));
    f[0] = 1;
    for (i = 2; i <= n; i++) {
        int c = 0;
        for (j = 0; j < maxn; j++) {
            int s = f[j] * i + c;
            f[j] = s % 10;
            c = s / 10;
        }
    }
    for (j = maxn-1; j >= 0; j--) if (f[j]) break;
    printf("total bits：%d\n", j+1); 
    for (i = j; i >= 0; i--) printf("%d", f[i]);
    printf("\n");
    
    return 0;
}

如果你不想像第16行一样，遍历数组里的每一位来做乘法，那么可以加上一个跟踪参数validBits来设置循环的阈值。这个参数初始化为1，当j达到validBits-1而且进位不为零的时候，validBits自增1。

如果现在要我们计算10000000!的阶乘，怎么办？刚才我们用计算器计算1000的阶乘，可以得到一个科学表示法的结果。当我们计算10000的阶乘时，Windows的计算器提示“溢出”。

那么我们现在简化问题，先计算10000000的阶乘有多少位有效数字。

 

二、计算阶乘的位数

先给出一个结论：有一个正整数n，则它的位数为log10(n) + 1。

解释如下：

对于正整数n，我们有10^(x-1) <= n < 10^x，其中x为正整数。则我们可以指出n的位数为x。

对不等式取对数：log10(10^(x-1)) <= log10(n) < log10(10^x)，简化得到：x-1 <= log10(n) < x。

则我们有log10(n) + 1 >= x，且log10(n) < x，

则对log10(n)取整之后，我们有(int)log10(n) + 1 = x。

现在我们要求n!的位数，则相当于求(int)log10(n!) + 1。

而log10(n!)=log10(n) + log10(n-1) + log10(n-2) + ... + log10(1)

我们很容易编程解决这个问题。

#include <stdio.h>
#include <math.h>

int
main(int argc, char** argv)
{
    double result;
    int input;
    int j;

    result = 0;
    scanf("%d", &input);

    for (j = 1; j <= input; j++) {
        result += log10(j);
    }
        
    printf("%d\n", (int)result + 1);
    
    return 0;
}

运行程序，输入10000000，输出结果为65657060。

所以10000000的阶乘的结果有65657060位数字。