快速选择 - 快速排序算法在查找中的应用

如果要我们找出一个数组中的最小（最大）的元素，那么第一反应肯定是使用最小（最大）堆。时间复杂度等同于建堆的复杂度，这里是O(N)。

如果要我们找出一个数组中的第k个最小的元素，那么我们依然可以使用最小堆，删除掉k次的最小值，就得到了结果。复杂度是O(N + klogN)。

如果要我们找出一个数组的中值，那么我们使用最小堆，复杂度是O(NlogN)。

 

但是，如果我们使用快速排序的思路来做快速选择呢？步骤是这样的：

（1）如果待排元素集合S的大小为1，k也为1，则返回。

（2）合理选取枢纽pivot。

（3）以pivot为参照，将集合分为S1和S2和pivot它自己。

（4）如果pivot的位置就是k，则返回。如果k小于pivot的位置，则递归处理S1。如果k大于pivot的位置，则递归处理S2。

我们分析上述快速选择的时间复杂度，与快速排序相比，快速选择只有步骤（4）与之有异。快速排序是递归S1和S2，而快速选择是递归其中之一，节省一次递归。最坏的复杂度的情况和快速排序相仿，是O(N^2)。最好的情况的复杂度是O(N)。平均的情况的复杂度，书上说是O(N)，这点我暂时没去证明。

 

代码如下：

#include <cstdio>
#include <cstdlib>

#define MINLENGTH 10

typedef int Item;
// inlineʹSwapÄÚÁªÕ¹¿ª¡£Ìá¸ß³ÌÐòЧÂÊ¡£ 
void inline
Swap(Item* a, Item* b)
{
    if (a != b) {
        *a ^= *b;
        *b ^= *a;
        *a ^= *b;
    }
}    
// ÔÚarrÖÐÈ¡×óÖÐÓÒÈý¸öλÖ㬱Ƚϡ£pivotÈ¡ÖмäÖµ£¬½«pivot·ÅÔÚright-1µÄλÖÃÉÏ¡£
// leftµÄλÖÃСÓÚpivot£¬rightµÄλÖôóÓÚpivot¡£ 
Item
Median3(Item arr[], int left, int right)
{
    int center = (left + right) / 2;
    
    if (arr[left] > arr[center]) {
        Swap(&arr[left], &arr[center]);
    }
    if (arr[left] > arr[right]) {
        Swap(&arr[left], &arr[right]);
    }
    if (arr[center] > arr[right]) {
        Swap(&arr[center], &arr[right]);
    }
    
    Swap(&arr[center], &arr[right-1]);
    return arr[right-1];
}

void
InsertSort(int arr[], int len)
{
    for (int i = 1; i < len; i++) {
        int tmp = arr[i];
        int j;
        for (j = i; j >= 1 && arr[j-1] > tmp; j--) {
            arr[j] = arr[j-1];
        }
        arr[j] = tmp;
    }
}
// ÕâÀïÑ¡ÓÃi£¬jÓöµ½µÈÓÚpivotµÄÇé¿öÏÂÍ£Ö¹£¨ÒòΪÈç¹û²»Í£Ö¹£¬ÄÇ»á´ïµ½O(N^2)¡££©
// ÁíÍ⣬³ÌÐò¿¼ÂÇ´ýÅÅÊý×Ö²»ÉÙÓÚ3¸öµÄÇé¿ö¡£ÉÙÓÚ3¸öµÄ»°£¬ÐèÒª¿¼ÂǶîÍâµÄÌØÊâÇé¿ö¡£ 
void 
QSelect(Item arr[], int key, int left, int right) 
{
    if (right - left >= MINLENGTH) {
        int pivot = Median3(arr, left, right);
        int i = left;
        int j = right - 1;
        for ( ; ; ) {
            while (arr[++i] < pivot) {}
            while (arr[--j] > pivot) {}
            if (i < j) {
                Swap(&arr[i], &arr[j]);
            } else {
                break;
            }
        }
        Swap(&arr[i], &arr[right-1]); // ½«pivot·ÅÔÚiµÄλÖÃÉÏ¡£ 
        
        if (key == i) {
            return;
        } 
        if (key < i) {
            QSelect(arr, key, left, i - 1);
        } else if (key > i) {
            QSelect(arr, key, i + 1, right);
        }
    } 
    else {
        InsertSort(arr + left, right - left + 1);
    }
}

void
QuickSelect(Item arr[], int key, int len)
{
    QSelect(arr, key, 0, len-1);
}

int 
main(int argc, char** argv)
{
    Item arr[100000] = {0};
    
    for (int i = 0; i < 100000; i++) {
        arr[i] = 100000/(i+1);
    }

    int key = 50000;
    QuickSelect(arr, key, 100000);

    printf("%d\n", arr[key]);
    
    
    system("pause");
    
    return 0;
}