堆排序

堆排序，就是利用二叉堆的特性来完成排序的工作。

这里假定我们要完成对一个数组进行从小到大排序的工作，那么利用最小堆（见《二叉堆 - 最小堆》）的特性，对于一个已经建好的最小堆，我们每次以DeleteMin函数取出最小的元素，放入一个临时数组中，如此一来，就完成了对该数组的排序。时间复杂度的话，建立堆的过程可以是O(NlogN)或者O(N)，看我们是以Insert函数建堆，还是以PercDown函数建堆。取出元素的DeleteMin函数，是O(logN)，有N个元素，所以是O(NlogN)。所以时间复杂度为O(NlogN)。但是使用到了额外的临时数组，空间复杂度为O(N)。当待排序数组很大的时候，这一开销还是值得商榷的。

为了避免空间上的额外开销，我们注意到，当我们使用DeleteMin的时候，堆中最小的元素被拿走，最后一个位置的元素向上移动到合适的位置，那么就空出了最后一个位置。所以我们可以把最小的元素放在最后一个位置上。依此类推，在对N个元素进行DeleteMin之后，堆就表现出从大到小排序的数组的样子了。所以我们把堆序改成最大堆，使用DeleteMax，那么最后堆就表现出从小到大的排序数组。

另外，如果我们考虑用PercDown函数建堆，用DeleteMax函数来进行排序数组的输出，观察最大堆的实现（见《二叉堆 - 最大堆》），我们可以稍作调整，合并PercDown函数和DeleteMax函数，并且省略堆结构的初始化和建立，直接以数组的形态进行堆排序。

代码如下：

#include <cstdio>
#include <cstdlib>

typedef int Item;
  
void 
Swap(Item* a, Item* b)
{   if (a != b) {
    *a ^= *b;
    *b ^= *a;
    *a ^= *b;   }
}    

// 跟前面最大（小）堆的程序不同，这里添加最后一个参数，用来控制边界 
void 
PercDown(Item arr[], int i, int len) 
{
    int child;
    Item tmp;
    
    for (tmp = arr[i]; 2*i+1 < len; i = child) {
        child = 2 * i + 1;
        if (child != len-1 && arr[child+1] > arr[child]) {
            child++;
        }
        if (tmp < arr[child]) {
            arr[i] = arr[child];
        } else {
            break;
        }
    }
    arr[i] = tmp;
}

void
HeapSort(Item arr[], int len)
{
    int i;
    // build maximum heap
    for (i = len/2; i >=0; i--) {
        PercDown(arr, i, len);
    }
    // delete maximum item
    for (i = len-1; i > 0 ; i--) {
        Swap(&arr[0], &arr[i]);
        PercDown(arr, 0, i);
    }
}
  

int 
main(int argc, char** argv)
{
    Item arr[6] = {17, 11, 2, 23, 5, 7};
    
    HeapSort(arr, 6);
    
    for (int i = 0; i < 6; i++) {
        printf("%d\t", arr[i]);
    }
    printf("\n");
    
    system("pause");
    
    return 0;
}

 

参考：Mark Allen Weiss《数据结构与算法分析——C语言描述》（第二版）