讨论两个天平称重问题

问题一：有12个外形一致的金属球，其中11个重量相同，另外有1个较轻。现在有一架天平，请用天平在3次以内找出那颗较轻的金属球。

问题二：有12个外形一致的金属球，其中11个重量相同，另外有1个重量与其他的球不同，也许是轻，也许是重。现在有一架天平，请用天平在3次以内找出那颗重量与众不同的金属球。

 

问题一比较简单。说一下解法：

首先，将12个球分成5个、5个、2个。

我们拿天平称5个、5个的（一次）。

如果平衡，则称剩下的2个，较轻的就出来了（两次）。

如果不平衡，则天平上有5个球是较轻的，我们把它们分成2个、2个、1个。

我们拿天平称2个、2个（两次）。

如果平衡，则剩下的1个有问题。

如果不平衡，则较轻的2个有问题。

我们拿天平称较轻的这2个（三次），有问题的就出来了。

 

问题二复杂一些。问题一简单想了几秒就出来了，而问题二我们宿舍讨论了一晚上。说一下解法。

首先，将12个编号，从1号、2号一直到12号。

我们将1、2、3、4放天平左边，5、6、7、8放天平右边（一次）。

　　如果平衡，则9、10、11、12有问题。我们把1、2换成9、10。此时天平左边3、4、9、10，右边5、6、7、8（两次）。

　　　　如果平衡，则11、12有问题。我们把3换成11，则左边4、9、10、11，右边5、6、7、8（三次）。

　　　　　　如果平衡，则12有问题。

　　　　　　如果不平衡，则11有问题。

　　　　如果不平衡，则9、10有问题。而且此时我们能够根据天平看出9、10中有问题的那个是轻还是重，假设是轻。则再称9、10，就出来了（三次）。

　　如果不平衡，则9、10、11、12正常。假设左轻右重。我们把4号放到右边，5号放到左边，拿9、10、11替代6、7、8。此时天平左边1、2、3、5，右边4、9、10、11（两次）。

　　　　如果平衡，则有问题的球在6、7、8中，而且6、7、8中有问题的球肯定重的。那么我们用天平称6、7就能辨别出有问题的球（三次）。

　　　　如果不平衡，我们看天平，如果左轻右重，那肯定是1、2、3有问题，因为右边的球中，4号是可能轻的，9、10、11是正常的。我们如同处理6、7、8一样处理1、2、3，就能辨别（三次）。如果左重右轻，则4号或者5号有问题。我们取4号或者5号与正常的球一比较，就知道哪个有问题了（三次）。

 

草草写完。感觉这种问题要讲清楚，最好的办法是画图。我写在这里，是记录一下自己思考的过程。如果您看得云里雾里，那很抱歉，建议拿出笔和纸画画，思路应该会稳定一些。