金融市场对冲击的响应（金融物理学导论学习笔记）

一、内生冲击和外生冲击

　　灾变可以分为两类，即内生灾变（如由于认为因素而造成的部分经济大波动和金融市场崩盘、社会动荡和暴动等）和外生灾变（如来自自然界的灾害、部分经济大波动和金融市场崩盘、传染病、动物疫情等）。内生灾变是复杂适应系统通过内部动力学演化自组织产生的，在系统演化趋向灾变的过程中，必然会出现各种反常现象而留下蛛丝马迹，从而使预警成为可能；外生灾变则来自系统之外，从而无法通过观测系统的内部活动获取外生灾变的任何相关信息，因而无法预测。与此同时，复杂系统对内生灾变和外生灾变的响应通常呈现不同的规律性。因此，认识灾变的来源往往有助于掌握灾变（内生的和外生的）发生后系统的演化情况，从而制定相应对策，有效地减少灾变可能造成的危害。

　　索内特和黑尔姆施泰特提出了一个平均场理论，探讨了具有记忆性的复杂系统活动性 $A(t)$ 对内生冲击和外生冲击的响应。设复杂系统的记忆函数（或记忆核）为 $K(t)$ ，系统的扰动为某一噪声函数 $\eta(\tau)$ ，则活动性 $A(t)$ 可视为系统对历史摄动的累积响应：

$A(t)=\int_{-\infty }^{t}\eta(\tau )K(t-\tau)d\tau$ (7.1)

　　不失一般性，设在时刻t=0有一外生冲击施于系统，其幅度为 $A_0$ ，则该外生冲击可以表述为狄拉克函数 $A_0\delta(\tau)+\eta(\tau)$ ，带入(7.1)式得：

$A(t)=\int_{-\infty }^{t}[A_0\delta(\tau)+\eta(\tau)]K(t-\tau)d\tau=A_0K(t)+\int_{-\infty }^{t}\eta(\tau)K(t-\tau)d\tau$ (7.2)

　　系统对外生冲击的数学期望为：

$E_{exo}[A(t)|A(0)=A_0]=A_0K(t)+n\left \langle \eta \right \rangle$ (7.3)

　　其中， $\left \langle \eta \right \rangle$ 为平均噪声水平， $n=\int_{0}^{+\infty }K(\tau)d\tau$ 为一个摄动对系统的平均影响力。可以看到，外生冲击对系统的影响是线性的。

　　当系统不经历外生冲击时，由于系统内部动力学的作用，仍会自组织地爆发大的波动，即内生冲击。同样地，可设一个强度为 $A(t=0)=A_0$ 的灾变在时刻 $t=0$ 爆发。显然，产生一个大的内生冲击需要特定的系列摄动来触发（也就是许多小事件的叠加影响）。不失一般性，假设 $E[A(0)]=0$ 及 $E[A(t)]=0$ ，则条件活动性为：

$E[A(t)|A(t=0)=A_0]=A_0\frac{Cov[A(t),A(0)]}{E[A(0)^{2}]}$ (7.4)

　　由式(7.1)知 $A(t)$ 与 $A(0)$ 的协方差为：

$Cov[A(t),A(0)]=\int_{-\infty }^{0}K(t-\tau)K(-\tau)d\tau$ (7.5)

　　因而 $A_0$ 的方差为：

$E[A(0)^2]=\int_{-\infty }^{0}[K(-\tau)]^2d\tau$ (7.6)

　　为常数，代入式(7.4)并作变量代换 $\tau\rightarrow -\tau$ 得：

$E_{endo}[A(t)|A(0)=A_0]\propto A_0\int_{0}^{+\infty}K(t+\tau)K(\tau)d\tau$ (7.7)

二、记忆核函数

　　利用内生冲击和外生冲击的理论，可以用于研究金融市场的异常波动，并对其起因进行分类。这一分析乃是基于波动率的长期记忆性，因此，为研究金融市场对冲击的响应规律，首先需要确定记忆核函数的形式。我们已经知道，多重分形随机游走是描述金融市场行为的一个很好的模型。在该模型中，在时间尺度 $\Delta t$ 上的市场收益率 $r_{\Delta t}(t)=ln[p(t)/p(t-\Delta t)]$ 可以用一个随机波动率模型表示：

$r_{\Delta t}(t)=\epsilon(t)\sigma _{\Delta t}(t)=\epsilon(t)e^{\omega _{\Delta t}(t)}$ (7.37)

　　其中， $\epsilon(t)$ 为高斯白噪声， $\epsilon(t)$ 与 $\omega_{\Delta t}(t)$ 不相关， $\omega_{\Delta t}(t)$ （表示波动的对数）具有近似高斯分布，其均值为：

$\mu _{\Delta t}=\frac{1}{2}ln(\sigma ^2\Delta t)-\lambda ^2ln(Te^{3/2}/\Delta t)$ (7.38)

　　其中， $\sigma^2\Delta t$ 为收益率 $r_{\Delta t}(t)$ 的方差；当 $t<T$ 时（ $T$ 为积分时间尺度），其协方差为：

$Cov[\omega _{\Delta t}(t),\omega _{\Delta t}(0)]=Cov[\omega _{\Delta t}(t+s),\omega _{\Delta t}(s)]=\lambda ^2ln\left ( \frac{T}{s+e^{-3/2}\Delta t} \right )$ (7.39)

　　而当 $t>T$ 时，其协方差 $Cov[\omega _{\Delta t}(t),\omega _{\Delta t}(0)]=0$ 。

　　同样，多重分形随机游走模型可以用记忆核函数的形式表达，特别是 $\omega_{\Delta t}(t)$ 可表示为：

$\omega _{\Delta t}(t)=\mu _{\Delta t}+\int_{-\infty }^{t}\eta(\tau)K_{\Delta t}(t-\tau)d\tau$ (7.40)

　　联列式(7.5)得：

$\int_{0}^{+\infty }K_{\Delta t}(t)K_{\Delta t}(t+\tau)d\tau=\lambda^2ln\left ( \frac{T}{t+e^{-3/2}\Delta t} \right )$ (7.41)

　　对上式作傅里叶变换并应用卷积定理后，再作逆变换，可得：

$K_{\Delta t}(t)\sim K_0\sqrt{\frac{\lambda^2 T}{t}}, \Delta t\ll t\ll T$ (7.42)

三、对外生冲击的线性响应

　　设在时刻 $t=0$ 有一强度为 $\omega_0$ 的新闻冲击市场，则该市场的摄动噪声从 $\eta(\tau)$ 变为 $\eta(\tau)+\omega_0\eta(\tau)$ ，代入式(7.40)得：

$\omega_{\Delta t,exo}(t)=\omega_0K_{\Delta t}(t)+\omega_{\Delta t}(t)$ (7.43)

于是，条件波动率的数学期望为：

$E_{exo}[\sigma_{\Delta t}^{2}(t)|\omega_0]=E_{exo}[e^{2\omega_{\Delta t,exo}(t)}|\omega_0]=\overline{\sigma_{\Delta t}^{2}}e^{2\omega_0 K_{\Delta t}(t)}$ (7.44)

　　其中 $\overline{\sigma_{\Delta t}^{2}}=E_{exo}[\sigma_{\Delta t}^{2}(t)]=\sigma^2\Delta t$ (7.45)

　　为样本方差，与时刻 $t$ 无关。将式(7.42)带入式(7.44)，可得条件波动率余量

$E_{exo}[\sigma_{\Delta t}^{2}(t)|\omega_0]-\overline{\sigma_{\Delta t}^{2}}=\overline{\sigma_{\Delta t}^{2}}e^{2\omega_0K_{\Delta t}(t)}-1\approx 2\overline{\sigma_{\Delta t}^{2}}\omega_0K_0\sqrt{\frac{\lambda^2T}{t}}$ (7.46)

　　其中 $\Delta t\ll t\ll T$ ，最后的约等式适用于 $t$ 足够大的情形（泰勒展开）。[1]

　　索内特等人的实证研究很好地验证了上述理论。他们分析了日本的日经250指数、美国的标准普尔500指数和英国的FTSE指数对1991年8月19日发生在苏联的戈尔巴乔夫政局变化所作出的反应，以及法国巴黎CAC指数对发生在美国的911恐怖袭击的反应，他们用5分钟的高频数据计算“灾变”发生后指数的日度波动率，可得 $\Delta t$ 为1天时的平均波动率 $\overline{\sigma_{\Delta}^{2}}$ 和条件波动率 $E_{exo}[\sigma_{\Delta t}^{2}(t)|\omega_0]$ 序列，最后得到条件波动率累积余量。对所分析的4个累积余量作标度分布，发现它们满足

$\int_{s=0}^{t}(E_{exo}[\sigma_{\Delta t}^{2}(s)|\omega_0]-\overline{\sigma_{\Delta t}^{2}})ds\sim t^{1/2}$ (7.47)

　　即式(7.46)的积分形式。作为对比，标普指数在1987年10月19日经历黑色星期一后波动率的累积余量与 $t$ 之间没有类似的标度关系，可见美国股市在1987年的崩盘不是外界冲击引起的，而是经由股市内部动力学演化自组织产生的。

图1：几次冲击的条件波动率累积余量与 $t$ 的标度关系图[1]

四、对内生冲击的响应

　　考虑金融市场在时刻 $t=0$ 产生一个强度为 $\omega(t=0)=\omega_0$ 的内生冲击。由于条件 $\omega(t)$ 过程亦近似为高斯过程，容易得到：

$E_{endo}[\sigma_{\Delta t}^{2}(t)|\omega_0]=E_{endo}[e^{2\omega_{\Delta t}(t)}|\omega_0]=e^{2E_{endo}[\omega_{\Delta t}(t)|\omega_0]+2Var[\omega_{\Delta t}(t)|\omega_0]}$ (7.50)

　　另一方面，参照式(7.14)，可以得到 $\omega_{\Delta t}(t)$ 的条件均指

$E_{endo}[\omega_{\Delta t}(t)|\omega_0]=E[\omega_{\Delta t}(t)]+\frac{Cov[\omega_{\Delta t}(t),\omega_{\Delta t}(0)]}{Var[\omega_{\Delta t}(0)]}(\omega_{\Delta t}(0)-E[\omega_{\Delta t}(0)])=\mu_{\Delta t}+\frac{Cov[\omega_{\Delta t}(t),\omega_{\Delta t}(0)]}{Var[\omega_{\Delta t}(0)]}(\omega_0-\mu_{\Delta t})$ (7.51）

　　及条件方差

$Var_{endo}[\omega_{\Delta t}^{2}(t)|\omega_0]=Var[\omega_{\Delta t}(t)]-\frac{Cov[\omega_{\Delta t}(t),\omega_{\Delta t}(0)]^2}{Var[\omega_{\Delta t}(0)]}=Var[\omega_{\Delta t}(t)]\left(1-\frac{Cov[\omega_{\Delta t}(t),\omega_{\Delta t}(0)]^2}{Var[\omega_{\Delta t}(0)]^2}\right)$ (7.52)

　　引入参数 $s=\omega_0-\frac{1}{2}ln\overline{\sigma_{\Delta t}^{2}}$ (7.53)

　　代入式(7.50)可得：

$E_{endo}[\sigma_{\Delta t}^{2}(t)|\omega_0]=\overline{\sigma_{\Delta t}^{2}}exp\left [ \frac{2(\omega_0-\mu_{\Delta t})Cov[\omega_{\Delta t}(t),\omega_0]}{Var[\omega_0]} -\frac{2Cov[\omega_{\Delta t}(t),\omega_0]^2}{Var[\omega_0]}\right ]=\overline{\sigma_{\Delta t}^{2}}\left(\frac{T}{t}\right)^{\alpha(s)+\beta(t)}$ (7.54)

　　其中：

$\alpha(s)=\frac{2s}{ln(Te^(3/2)/\Delta t)}$ (7.55)

$\beta(t)=2\lambda^2\frac{ln(te^{3/2}/\Delta t)}{ln(Te^(3/2)/\Delta t)}$ (7.56)

　　当 $\Delta t<t\ll\Delta te^{|s|/\lambda^2}$ 时， $\beta(t)\ll\alpha(s)$ ，于是式(7.54)可简化为：

$E_{endo}[\sigma_{\Delta t}^{2}(t)|\omega_0]\sim t^{-\alpha(s)}$ (7.57)

（这块推导没整明白）

　　金融市场对内生冲击的响应规律同样可用高频数据来验证。为计算时间间隔为 $\Delta t$ 的波动率 $\sigma_{\Delta t}^{2}(t)$ ，数据的采样频率应高于 $1/\Delta t$ 。设高频收益率数据为 $r_{\delta t}(i\delta t)$ ，则在时刻 $t=n\Delta t(n=1,2,\cdots)$ 的波动率为：

$\sigma _{\Delta t}^{2}(t)=\sum_{i=1}^{\Delta t/\delta t}[r_{\delta t}(t-\Delta t+i\delta t)]^2$ (7.58)

而平均波动率 $\overline{\sigma_{\Delta t}^{2}}$ 为 $\sigma_{\Delta t}^{2}$ 的样本均值。任一 $s$ 都对应一个大小为 $e^{2s}\overline{\sigma_{\Delta t}^{2}}$ 的冲击，找到 $\sigma_{\Delta t}^{2}$ 中所有大小为 $e^{2s}\overline{\sigma_{\Delta t}^{2}}$ 的冲击发生的时刻，将此后的（条件）波动率的时间平移至冲击发生时刻后取平均，即得 $E_{endo}[\sigma_{\Delta t}^{2}(t)|\omega_0]$ 。索内特等人用美国股市的标准普尔100指数的5分钟高频数据，研究了 $\Delta t$ 为40分钟和1天时的条件波动率的衰减情况，计算出不同 $s$ 对应的标度指数 $\alpha(s)$ ，发现 $\alpha(s)$ 与 $s$ 之间呈现很好的线性关系，其斜率因 $\Delta t$ 而异。有趣的是，一个基于伊辛模型的多交易者微观市场的波动率也呈现类似的规律。