矩阵乘法与动态 DP 入门

洛谷：https://www.luogu.com.cn/blog/ningago-lsh/ju-zhen-sheng-fa-yu-dong-tai-dp-ru-men

矩阵乘法及广义矩阵乘法

前置知识：矩阵相关基础概念。
记 $A(i,j)$ 表示矩阵 $A$ 的第 $i$ 行第 $j$ 列， $n_A$ 为 $A$ 的行数， $m_A$ 为 $A$ 的列数。
定义矩阵加法 $A+B$ 为（ $n_A=n_B,m_A=m_B$）：

$$[A+B](i,j)=A(i,j)+B(i,j)$$

矩阵加法有交换律，结合律。
定义矩阵乘法 $A\times B$ 为（ $m_A=n_B$）：

$$[A\times B](i,j)=\sum _{k=1}^{m_A}(A_{i,k}\times B_{k,j})$$

矩阵乘法满足结合律，对矩阵加法的分配律，但不满足交换律。
定义关于运算 $(\oplus ,\otimes )$ 广义矩阵乘法 $A\times B$ 为（ $m_A=n_B$）：

$$[A\times B](i,j)=\underset{k=1}{\overset{m_A}{⨁}}(A_{i,k}\otimes B_{k,j})$$

若其存在结合律，则：

$$\begin{array}{rl}(AB)C& =A(BC)\\ \underset{k=1}{\overset{m_B}{⨁}}(\underset{p=1}{\overset{m_A}{⨁}}(A(i,p)\otimes B(p,k))\otimes C(k,j))& =\underset{k=1}{\overset{m_A}{⨁}}(A(i,k)\otimes \underset{p=1}{\overset{m_B}{⨁}}(B(k,p)\otimes C(p,j)))\end{array}$$

若：

• $\otimes$ 对 $\oplus$ 有（左、右）分配律；
• $\otimes$ 有结合律；
• $\oplus$ 有交换律。
  则有：

$$\begin{array}{rl}\underset{k=1}{\overset{m_B}{⨁}}\underset{p=1}{\overset{m_A}{⨁}}(A(i,p)\otimes B(p,k)\otimes C(k,j))& =\underset{k=1}{\overset{m_A}{⨁}}\underset{p=1}{\overset{m_B}{⨁}}(A(i,k)\otimes B(k,p)\otimes C(p,j))\\ \underset{k=1}{\overset{m_B}{⨁}}\underset{p=1}{\overset{m_A}{⨁}}(A(i,p)\otimes B(p,k)\otimes C(k,j))& =\underset{p=1}{\overset{m_B}{⨁}}\underset{k=1}{\overset{m_A}{⨁}}(A(i,k)\otimes B(k,p)\otimes C(p,j))\end{array}$$

即满足结合律。
常见的 $(\oplus ,\otimes )$ 组合有： $(+,\times )$ ， $(max,+)$。

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练习题目：

• B2104 矩阵加法
• B3615 测测你的矩阵乘法
• P3390 【模板】矩阵快速幂

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矩阵递推

矩阵可以有效地解决线性组合问题。

斐波那契问题：$fi{b}_k=fi{b}_{k-1}+fi{b}_{k-2}$，求 $fi{b}_n$。

我们构造矩阵 $f_{k-1}=\left[\begin{array}{cc}fi{b}_{k-1}& fi{b}_{k-2}\end{array}\right]$（注意下标）。

则 $f_k=f_{k-1}\times \left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 0\end{array}\right]$。

这样我们就可以用另一种方式 $O(2^{3}n)$ 递推出 $fi{b}_n$。

注意到这样递推每一项的转移都是一样的，而又知道矩阵有结合律，故 $f_k=f_1\times {\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 0\end{array}\right]}^{k-1}$。

矩阵显然可以使用快速幂，故可以 $O(2^3\log n)$ 递推出 $fi{b}_n$。

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那么，现在你已经对矩阵递推有一定的了解了，就让我们看一看下面这个简单的例子，来把我们刚刚学到的知识运用到实践中吧！

$$\begin{gathered} \boxed{{\displaystyle \text{试试看！} \\ \text{例题1.7}}} \end{gathered}$$

洛谷 P1707 刷题比赛

第 $1$ 天 A,B,C 都做了 $1$ 道题。第 $2$ 天 A,B,C 都做了 $3$ 道题。

A 同学第 $k+2$ 天刷题数量 $a_{k+2}=p{a}_{k+1}+q{a}_k+b_{k+1}+c_{k+1}+r{k}^2+tk+1$；

B 同学第 $k+2$ 天刷题数量 $b_{k+2}=u{b}_{k+1}+v{b}_k+a_{k+1}+c_{k+1}+w^k$；

C 同学第 $k+2$ 天刷题数量 $c_{k+2}=x{c}_{k+1}+y{c}_k+a_{k+1}+b_{k+1}+z^k+k+2$。

给定 $n\le {10}^{16}$ 和其它常数，求出 $a_n,b_n,c_n$，答案取模。

构造矩阵 $f_{k-1}=[a_{k-1},a_{k-2},b_{k-1},b_{k-2},c_{k-1},c_{k-2},k-2,(k-2{)}^2,1,w^{k-2},z^{k-2}]$。

则有：$f_k=f_{k-1}\times \left[\begin{array}{ccccccccccc}p& 1& 1& 0& 1& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ q& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ 1& 0& u& 1& 1& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& v& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ 1& 0& 1& 0& x& 1& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& y& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ t& 0& 0& 0& 1& 0& 1& 2& 0& 0& 0\\ r& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 1& 0& 0& 0\\ 1& 0& 0& 0& 2& 0& 1& 1& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0& 0& 0& 0& 0& 0& w& 0\\ 0& 0& 0& 0& 1& 0& 0& 0& 0& 0& z\end{array}\right]$。

则 $f_k=f_2\times B^{k-2}$ （ $B$ 是转移的矩阵）。
对矩阵进行快速幂即可 $O({11}^3\log n)$ 解决。

https://www.luogu.com.cn/paste/u9m7bjru

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总结：矩阵递推可以做的有：

• 需要加前 $t$ 项的 dp 值（乘系数），每个函数消耗 $t$ 个矩阵空位。
• 需要加常数，消耗 $1$ 空位。
• 需要加下标（$\pm \mathrm{\Delta }$），消耗 $1$ 空位。
• 需要加常数的下标（$\pm \mathrm{\Delta }$）次方，消耗 $1$ 空位。
• 需要加下标（$\pm \mathrm{\Delta }$）的 $t$ 次方，消耗 $t+1$ 空位（利用二项式定理）。

其中 $\mathrm{\Delta }$ 需恒定。以上空位的消耗会有重叠。

练习题目：

• P1939 【模板】矩阵加速（数列）
• P1349 广义斐波那契数列
• P3758 [TJOI2017]可乐
• P2109 [NOI2007] 生成树计数

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运用矩阵解决线性组合问题

P3373 【模板】线段树 2
区间加，区间乘，区间求和， $n,m\le {10}^5$。

使用线段树维护。普通的懒标记太麻烦了，故使用矩阵求解。
构造一个节点的矩阵 $f_k=\left[\begin{array}{cc}\sum val& r-l+1\end{array}\right]$ ，则 $f_k=f_{lson}+f_{rson}$ 。

构造一个节点的懒标记矩阵 $laz{y}_k$，初始 $=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right]$ 即单位元。

则对于区间加 $z$ 操作，则对于需要操作的节点， $laz{y}_k\stackrel{\times }{\leftarrow }\left[\begin{array}{cc}1& z\\ 1& 0\end{array}\right],f_k\stackrel{\times }{\leftarrow }\left[\begin{array}{cc}1& z\\ 1& 0\end{array}\right]$ 。

对于区间乘 $z$ 操作，则对于需要操作的节点， $laz{y}_y\stackrel{\times }{\leftarrow }\left[\begin{array}{cc}z& 0\\ 1& 0\end{array}\right],f_y\stackrel{\times }{\leftarrow }\left[\begin{array}{cc}z& 0\\ 1& 0\end{array}\right]$ 。

下放时设置 $f_{son}\stackrel{\times }{\leftarrow }laz{y}_k,laz{y}_{son}\stackrel{\times }{\leftarrow }laz{y}_k$ 即可，和普通线段树大体没有区别。

至此我们可以使用 $2^3$ 的常数解决原来复杂的懒标记下传（把矩阵乘法循环展开就和原来常数差不多了qwq）。

https://www.luogu.com.cn/paste/ulndkmq8

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接下来本质理解一下这种做法。

U226931 Linear function？（原创题，可提交，不卡常（？））

$n$ 节点的树，每个节点有 $x_i,y_i,z_i$> 三个权值。

操作 $1$：对于所有 $s,t$ 路径上的节点，$x_i\leftarrow a{x}_i+b{y}_i+c{z}_i+d$。

操作 $2$：对于所有 $s,t$ 路径上的节点，$y_i\leftarrow a{x}_i+b{y}_i+c{z}_i+d$。

操作 $3$：对于所有 $s,t$ 路径上的节点，$z_i\leftarrow a{x}_i+b{y}_i+c{z}_i+d$。

操作 $4$：求出 $s,t$ 路径上 $x_i+y_i+z_i$ 之和。

$n,m\le {10}^5$，答案取模，$abcd\ne 0$。

操作 $5$ 不是此题重点，可以用操作树实现，在此不赘述。

树上路径问题可以使用树链剖分或 LCT 实现。接下来仅讨论序列区间问题。

还是使用懒标记线段树。构造叶节点的矩阵：$f_k=\left[\begin{array}{cccc}{x}_k& y_k& z_k& 1\end{array}\right]$。（$1$ 的设置用来辅助常数即 $d$，参考例题 $1.7$）。

那么非叶节点的矩阵就为 $f_k=f_{lson}+f_{rson}=\left[\begin{array}{cccc}\sum x& \sum y& \sum z& r-l+1\end{array}\right]$。

操作 $1$ 相当于对 $f$ 和 $lazy$ 乘 $\left[\begin{array}{cccc}a& 0& 0& 0\\ b& 1& 0& 0\\ c& 0& 1& 0\\ d& 0& 0& 1\end{array}\right]$。

其它操作可以类似构造，即 $\left[\begin{array}{cccc}1& a& 0& 0\\ 0& b& 0& 0\\ 0& c& 1& 0\\ 0& d& 0& 1\end{array}\right]$ 和 $\left[\begin{array}{cccc}1& 0& a& 0\\ 0& 1& b& 0\\ 0& 0& c& 0\\ 0& 0& d& 1\end{array}\right]$。

复杂度 $O(4^{3}m\log n)$（LCT）。

https://www.luogu.com.cn/paste/yfwxrpuw

https://www.luogu.com.cn/paste/y9rc9urr

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练习题目：

• P7453 [THUSCH2017] 大魔法师

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动态 DP

P4719 【模板】"动态 DP"&动态树分治

$n$ 个节点的点权树，单点修改，求最大权独立集。

$n,m\le {10}^5$。

考虑没有上司的舞会的做法。

记 $f_{k,0},f_{k,1}$ 表示只关心 $k$ 节点的子树，$k$ 节点选不选的方案数；

容易得到 $f_{k,0}=\sum _{nx}max\{f_{nx,0},f_{nx,1}\},f_{k,1}=a_k+\sum _{nx}{f}_{nx,0}$。

为了方便修改，我们对树进行实链剖分（LCT 维护）。

记 $g_{k,0},g_{k,1}$ 表示 $f_{k,0},f_{k,1}$ 的递推式中，虚儿子和自身权值产生的贡献。

即 $g_{k,0}=\sum _{nx\ne hson}max\{f_{nx,0},f_{nx,1}\},g_{k,1}=a_k+\sum _{nx\ne hson}{f}_{nx,0}$

则我们可以用 $(max,+)$ 广义矩阵乘法描述转移：

$$\left[\begin{array}{c}{f}_{k,0}\\ f_{k,1}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}{g}_{k,0}& g_{k,0}\\ g_{k,1}& -\mathrm{\infty }\end{array}\right]\times \left[\begin{array}{c}{f}_{hson,0}\\ f_{hson,1}\end{array}\right]$$

注意叶节点的 $hson$ 权值被定义为 $M_{leaf}=\left[\begin{array}{c}0\\ 0\end{array}\right]$。

为什么使用竖向量？

因为要适应 Splay 中 $lson\to k\to rson$ 的前序遍历关系。

显然在实链结构不改变的情况下，$g$ 是不会改变的。

如何修改？（$a_x=y$）

令 $F_k$ 表示 $k$ 的辅助树上子树的矩阵积，即 $F_k=F_{lson}\times \left[\begin{array}{cc}{g}_{k,0}& g_{k,0}\\ g_{k,1}& -\mathrm{\infty }\end{array}\right]\times F_{rson}$。

如果把 $x$ access 到根，然后旋到辅助树根，此时没有一个节点的儿子是 $x$，就可以之间修改 $x$ 的 $g$。

所以这启发我们维护 access 过程。

access 中，需要修改实儿子。这需要向 $g$ 中添加权值或删除权值。这对于此题的求和式是简单的。

如何查询？

把原树根旋转为辅助树的根，即可得出 DP 值为 $F_{root}\times M_{leaf}$。

至此我们通过 $O(n\log n)$ 的复杂度解决此题。

https://www.luogu.com.cn/paste/h8cx9ldw

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可以总结出使用动态 DP 的前提条件：

• 可以用广义矩阵乘法刻画虚儿子的贡献和实儿子的贡献。
• 在插入一个新虚儿子或删除原有的一个虚儿子时可以快速更新 $g$。
• 更改权值后可以快速更新 $g$。

注意不要把“快速”局限为 $O(1)$。

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P3781 [SDOI2017]切树游戏

$n$ 个节点的带权树。

操作 $1$：单点修改权值。

操作 $2$：求有多少个非空联通子树，满足树内权值异或和为 $t$。

$n,m\le 3\times {10}^4,a,t\le 128,t$ 不固定。答案取模。

容易发现这是个异或卷积，故令 $A_i=FWT(x^{a_i})$。

令 $One=FWT(1)$。

先考虑朴素 dp：$f_k$ 表示 $k$ 的子树内，选了 $k$ 的方案数，$F_k$ 表示可以不选 $k$ 的方案数。（两个都是 FWT 序列）

$$f_k=A_k\times \prod _{nx}(One+f_{nx}),F_k=f_k+\sum _{nx}{F}_{nx}$$

实链剖分。

$$g_k=A_k\times \prod _{nx\ne hson}(One+f_{nx}),G_k=\sum _{nx\ne hson}{F}_{nx}$$

用 $(+,\times )$ 的矩阵乘法刻画（$g_k\times (One+f_{hson})=g_k+g_k\times f_{hson}$）：

$$\left[\begin{array}{c}{F}_k\\ f_k\\ 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}0& g_k& g_k\\ 1& g_k& g_k+G_k\\ 0& 0& 1\end{array}\right]\times \left[\begin{array}{c}{F}_{hson}\\ f_{hson}\\ 1\end{array}\right]$$

利用动态 DP 的基本方法即可。由于模数小，可以 $O(1)$ 实现模意义除法。

由于除法可能有 $0$，所以对每个节点需要记录 $cn{t}_k$ 表示现在的虚儿子中有多少个为 $0$。

需要意识到动态 DP 的虚实儿子转化不是任意加减（乘除或其它），而是插入删除，这会带来很多良好的性质。接下来这题将会体现。

https://www.luogu.com.cn/paste/8rm5r98l

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BZOJ5210 最大连通子块和

$n$ 个节点的带权有根树。

操作 $1$：单点修改权值。

操作 $2$：求 $x$ 的子树中最大的联通子块的点权和。

$n,m\le 2\times {10}^5$，点权有正有负。

$f_k$ 表示 $k$ 的子树内，选了 $k$ 的最大值，$F_k$ 表示可以不选 $k$ 的最大值。

$$f_k=a_k+\sum _{nx}max\{f_k,0\},F_k=max\{0,f_k,\underset{nx}{max}\{F_{nx}\}\}$$

$$g_k=a_k+\sum _{nx\ne hson}max\{f_k,0\},G_k=max\{0,\underset{nx\ne hson}{max}\{F_{nx}\}\}$$

利用 $(max,+)$ 的广义矩阵乘法：

$$\left[\begin{array}{c}{F}_k\\ f_k\\ 0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}0& g_k& G_k\\ -\mathrm{\infty }& g_k& 0\\ -\mathrm{\infty }& -\mathrm{\infty }& 0\end{array}\right]\times \left[\begin{array}{c}{F}_{hson}\\ f_{hson}\\ 0\end{array}\right]$$

利用动态 DP 的基本方法，现在的问题是：$G$ 是 $max$ 形式，怎么进行更改？

利用插删虚儿子的性质，对每个节点开一个可删堆维护即可。

怎么查询子树的答案？

把 $x$ 旋到根，只保留自身和右儿子的矩阵合并即可。

复杂度 $O(n{\log }^{2}n)$

https://www.luogu.com.cn/paste/boz9uo5g

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练习题目：

• P5024 [NOIP2018 提高组] 保卫王国
• P8820 [CSP-S 2022] 数据传输
• P6021 洪水

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谢谢观看。