分块学习笔记

前言：

分块——高级的暴力。采用的主体思想是“整块打标记，散块打暴力”。能解决很多线段树，平衡树，树套树等数据结构类问题，复杂度高但常数很小，可以和一些大常数的双log甚至单log数据结构持平，且思维相对简单，缺点是码量较大，需要一定的代码能力。

上篇——静态分块

区间分块

最简单的东西，感觉也是变化最多的东西

把数组分成 $\sqrt{n}$ 段，每段的长度是 $\sqrt{n}$ 。

分块开不开结构体都可以，一般需要对每个块维护$st,ed$，并对每个点维护$num$，表示该点在哪个块中。

值域分块

分块的进阶版，在区间分块的基础上对值域分块，为了保证修改和查询时正确的复杂度，一般采用前缀和优化。即设$sum(i,u)$代表第$1\sim i$块，落在值域上第$u$块的总个数，再设$val(i,u)$代表第$1\sim i$块，数值为$u$的总个数。

则修改和查询操作都可以分为：

$$\{\begin{array}{c}\mathrm{区}\mathrm{间}\mathrm{整}\mathrm{块}，\mathrm{值}\mathrm{域}\mathrm{整}\mathrm{块}\\ \mathrm{区}\mathrm{间}\mathrm{整}\mathrm{块}，\mathrm{值}\mathrm{域}\mathrm{散}\mathrm{块}\\ \mathrm{区}\mathrm{间}\mathrm{散}\mathrm{块}\end{array}$$

值域分块可以解决一些诸如带修改区间第k小等原本需要树套树才能解决的问题，赢！

下篇——块状链表（动态分块）

“动态”不是指支持带修，这个普通分块也能做，但是块状链表可以支持带插入，即在序列的第$k$项插入一个数值$x$，原来后面的数集体向后平移一位。

实现很简单，先分块，把原来分好的块用链表串联起来，也就是对每个块维护nxt，指向它的下一个块。遇到插入则暴力重构整个块。

注意在同一个位置插入过多的数会导致这个块长度远大于$\sqrt{n}$，所以需要一个$split$函数，当块长过长$(\ge 2\ast sqrtn)$时，就把这个块分裂成两个。

特殊情况下也会需要一个$merge$函数，但大多数情况下不用，因为如果每次只删一个数，则无论如何块的个数都不会过多。

块链的写法是对每个块开一个结构体，存$len,nxt$和原数组，很多情况下也要存$st$和$mx$，具体情况具体分析。会涉及到求下标$x$在哪个块内，可以从头开始跳，也可以像普通分块一样维护一个$num$数组。

这里简单说一下个人总结出的三种块链。

单点插入，全局查询

eg.P3369

最好写的块链，这类题不涉及元素的位置，可以直接维护一个有序的序列，通常要对每个块维护$mx$，注意插入哨兵节点。

单点插入，区间查询

eg.存储器，P4278

比较常见的块链，一般需要维护$num$数组和每个块的$st$，查询正常做，插入时后面所有块的$st++$，插入和分裂时注意维护$num$数组。

有时候还可以搭配值域分块食用。

区间插入，区间查询

eg.P2042

比较难写的块链，个人觉得更像一种根号版平衡树（

我们稍微魔改一下$split$函数，让它可以指定从某个位置把一个块分成两个，那么对一个区间的操作就可以转化为对一堆整块的操作，注意最后要$merge$回去，同时注意块的个数要开多一点。

同时特别说一下区间反转，转化为一堆整块之后，把每个块打个$tag$，同时它的$nxt$指针都指向原来自己前面的数，然后两边特殊处理一下即可。注意块内如果维护了前后缀相关内容，则需要$swap$一下。单独写一个下传标记，重构整个块。