逻辑运算符符号化命题——数理逻辑
今天所讲的是如何使用逻辑运算的方式去表示一个命题。改研究的意义在于去实现概念的逻辑化表达，以便可以用逻辑符号去描述知识世界，是早期人工智能的主要研究方向。
1、认识逻辑运算符
在形式逻辑中，逻辑运算符或逻辑联结词把语句连接成更复杂的复杂语句。例如，假设有两个逻辑命题，分别是“正在下雨”和“我在屋里”，我们可以将它们组成复杂命题“正在下雨，并且我在屋里”或“没有正在下雨”或“如果正在下雨，那么我在屋里”。一个将两个语句组成的新的语句或命题叫做复合语句或复合命题。(来源百度)
基本的操作符有：
| 名称（符号） | 符号类型 | 作用 |
|---|---|---|
| “非”（¬） | 一元操作符 | ¬ P 表示 与P要表达的意义相反，在自然语言中，常用“不是”、“非”来表示 |
| “与”（∧） | 二元操作符 | P ∧ Q, 表示P和Q同时成立，在自然语言中，常用“一边…一边…”、“不仅…而且…”、“同时…”、“既…又…”来表示 |
| “或”（∨） | 二元操作符 | P ∨ Q 表示P和Q至少发生一个，在自然语言中，常用“或者”来表示 |
| “条件”（→） | 二元操作符 | P → Q表示P是Q的必要条件 |
| “双条件”（↔） | 二元操作符 | P ↔ Q表示P与Q互为充要条件 |
2、符号化套路
名词处理：
名词可以分为两类，一类是常量名词，一类是变量名词。
举例：
欧拉常数是无理数
解析：
欧拉常数就是常量名词，表达时常用 a, b, c…等字母无理数则是变量名词， 往往表示一类实物，可以用x，y，z… 字母表示答案：
令 a：欧拉常数， F(x)：x是无理数
则原命题可以符号化为：F(a)
谓词处理：
谓词一般会结合变量名词，一起出现，在符号化时会被表示为一个函数，常见的表达有“是…”，“能够…”，“发生了…”
举例：
我会死
答案：
令 a：我， F(x)：x会死
则原命题可以符号化为：F(a)
举例：
他打了张三
答案：
令 a：他， F(x)：x打了张三
则原命题可以符号化为：F(a)
-------或者-------
令 a：他，b：张三， F(x，y)：x 打了y
则原命题可以符号化为：F(a, b)
条件类
凡是类：看到 “凡是… 都”，“一切…都”等表示所有的，要使用
∀x：个体域里的所有个体，个体域是事先确定的。
∀xH(x)：个体域里所有的x都有关系都有性质H，
∀x∀yG(x,y)：个体域里所有的x和y都有关系G。
举例：
所有动物都是碳基的
答案：
令 a：动物， F(x)：x是碳基的
则原命题可以符号化为： ∀ a F ( a ) ∀_{a}F(a) ∀aF(a)
举例：
尖子班的每一个学生都比普通班的学生强
解析：对于每一个尖子班和每一个普通班的学生，都有尖子班的学生比普通的学生强
答案：
令 F(x):x是学生, J(x):x在尖子班, N(x):x在普通班, Strong(x,y): x比y强
则原命题可以符号化为： ∀ x ∀ y ( F ( x ) ∧ F ( y ) ∧ J ( x ) ∧ N ( y ) → S t r o n g ( x , y ) ) ∀_{x}∀_{y}(F(x)∧F(y)∧J(x)∧N(y) → Strong(x,y)) ∀x∀y(F(x)∧F(y)∧J(x)∧N(y)→Strong(x,y))
存在类：看到 “有的…”，“存在… 使得… ”等，要使用
∃x：个体域里的某个个体，个体域是事先确定的。
∃xH(x)：个体域里某个x具有性质H，
∃x∃yG(x,y)：个体域里某个x和某个y有关系G。
举例：
有的数是无理数，有的数是有理数
答案：
令 F(x): x是数. Q(x):x是有理数, N(x):x是无理数,
则原命题可以符号化为： ( ∃ x ( Q ( x ) ∧ F ( x ) ) ) ∧ ( ∃ y ( N ( y ) ∧ F ( y ) ) ) (∃x(Q(x)∧F(x)))∧(∃y(N(y)∧F(y))) (∃x(Q(x)∧F(x)))∧(∃y(N(y)∧F(y)))
3、更多练习
例 1：如果下雨，则我打伞。
答案：
令 F(x): x下雨, G(x): x打伞, a: 天, b: 我
则原命题可以符号化为：F(a) → G(b)
例 2： 三角形的三个内角之和是180°，当且仅当过直线外一点有且仅有一条直线与已知直线平行。
解析：
- 前半句话和后半句话都是定理，定理的真正都为1，关系上呈现出等价
- 有且仅有一条可以理解为，存在x1 使得结论成立，并且不存了x2(x2 ≠ x1)使得结论成立
答案：
令 F(x): x是三角形的三个内角之和, G(x): x是180度, L(x): x是直线, P(x): x是点, Parallel(x,y): x 和 y 平行, H(x, y, z): x 过 y 外 z, Eq(x, y): x 和 y 相同。
则原命题可以符号化为：
∀ x ( F ( x ) → G ( x ) ) ↔ ∀ x ∀ y ( L ( x ) ∧ P ( y ) → ( ∃ z 1 ( L ( z 1 ) ∧ H ( z 1 , x , y ) ∧ P a r a l l e l ( z 1 , x ) ) ∧ ¬ ∃ z 2 ( L ( z 2 ) ∧ ¬ E q ( z 1 , z 2 ) ∧ H ( z 2 , x , y ) ∧ P a r a l l e l ( z 2 , x ) ) ) ) ∀_{x}(F(x) → G(x)) ↔ ∀_{x}∀_{y}( L(x)∧P(y) → ( ∃z_{1}( L(z_{1})∧H(z_{1}, x, y)∧Parallel(z_{1},x)) ∧ ¬∃z_{2}( L(z_{2})∧ ¬Eq(z_{1}, z_{2}) ∧ H(z_{2}, x, y) ∧ Parallel(z_{2},x) ) ) ) ∀x(F(x)→G(x))↔∀x∀y(L(x)∧P(y)→(∃z1(L(z1)∧H(z1,x,y)∧Parallel(z1,x))∧¬∃z2(L(z2)∧¬Eq(z1,z2)∧H(z2,x,y)∧Parallel(z2,x))))
例 3：李白要么擅长写诗，要么擅长喝酒。
答案：
令 a: 李白, F(x): x喝酒, G(x): x写诗
则原命题可以符号化为：(F(x)∧ ¬G(x))∨( ¬F(x)∧ G(x))
例 4：李白既不擅长写诗，也不擅长喝酒。
答案：
令 a: 李白, F(x): x喝酒, G(x): x写诗
则原命题可以符号化为：¬F(x)∧ ¬G(x)
文章参考由李德毅编写的《人工智能导论》，有差别的地方，请自行斟酌，取之精华。
