Min-Max 反演及其应用

Min-Max 反演及其应用

普通形式

\[\max(S)=\sum_{\empty\not=T\subseteq S}(-1)^{|T|-1}\min(S) \]

\[\min(S)=\sum_{\empty\not=T\subseteq s} (-1)^{|T|-1}\max(S) \]

拓展形式

既然能求最大，能不能求第 \(K\) 大？

有高人就通过容斥整出来了：

\[kth\max(S)=\sum_{\empty\not=T\subseteq S}(-1)^{|T|-k}\binom{|T|-1}{k-1}\min(T) \]

\[kth\min(S)=\sum_{\empty\not=T\subseteq S}(-1)^{|T|-k}\binom{|T|-1}{k-1}\max(T) \]

看起来好像很没用？直接枚举子集的话复杂度是 \(O(2^n)\) 的，还不如直接排序。

事实上还是有点用的，比如 NOIonline 2022 T3，可以将三维偏序问题转为二维偏序问题。

好像还是没什么用。。。其实他还有一条更重要的性质。

min-max 反演在期望意义下依然成立：

\[E(kth\max(S))=\sum_{\empty\not=T\subseteq S}(-1)^{|T|-k}\binom{|T|-1}{k-1}E(\min(T)) \]

\[E(kth\min(S))=\sum_{\empty\not=T\subseteq S}(-1)^{|T|-k}\binom{|T|-1}{k-1}E(\max(T)) \]

事实上 min-max 容斥大部分用途也就是用来求容斥。

考虑这样一个问题，有 \(n\) 种物品，每种无限个，每次取一种物品中的一个，每种物品有 \(P_i\) 的概率被取出，问取出 \(n\) 种物品的期望次数。

我们定义 \(E(\min(S))\) 为 \(S\) 中最早出现物品的时间，\(E(\max(S))\) 同理，那么套 max-min 反演就可以在 \(O(2^n)\) 的时间内求出答案了。

例题

HAOI2015按位或

重返现世

题解先咕着。