计算几何基础知识

计算几何基础知识

向量，极坐标

基础概念高中课本应该讲了吧 贴下 oiwiki 链接：向量，极坐标

平面向量在计算几何中一般用坐标来描述，$(x,y)$ 表示的是起点在 $(0,0)$，而终点在 $(x,y)$ 的平面向量。

所以我们也可以用点来描述向量。

理解下文的式子最好都将向量看成起点在 $(0,0)$，终点在 $(x,y)$ 的一个”箭头“。

基本运算：

设 $\bold A (x_1,y_1)$，$\bold B(x_2,y_2)$ 。

那么有：

$\bold A+\bold B=(x_1+x_2,y_1+y2)$。

$\bold A-\bold B=(x_1-x_2,y_1-y_2)$。

所以点的加减法可以理解成其表示向量的加减法。

而加减法的结果都是向量。

如果$\bold A,\bold B$ 的夹角为 $\theta$ 。那么有：

$\bold A \cdot \bold B=|\bold A||\bold B|\cos\theta$。

我们称其为 $\bold A,\bold B$ 的点积。

以上我们的向量的运算都是在二维平面意义下的。

而在三维空间中我们有空间向量。也就是三维空间下的向量，类似平面向量，我们同样可以用一个点的坐标来描述空间向量。

设 $\bold A(x_1,y_1,z_1),\bold B(x_2,y_2,z_2)$。而上述二维平面下的运算，我们可以看成是空间向量 $\bold A,\bold B$ 在 $z$ 值相等时的运算。

定义向量 $\bold A,\bold B$ 的向量积为 $\bold A\times \bold B$。其结果是一个向量。

这个玩意儿在平面上的应用就是用来判断两个向量的关系位置。

因为 $\bold A\times \bold B =(y_1z_2-y_2z_1,z_1x_2-z_2x_1,x_1y_2-x_2y_1)$。

设 $\bold A,\bold B$ 之间的夹角为 $\theta(\theta<\pi)$ ，且他们的 $z$ 均为 $0$。

那么 $\bold A\times \bold B=(0,0,x_1y_2-x_2y_1)$。

易知向量积的方向由 $x_1y_2-x_2y_1$ 决定。又根据右手定则（用来看向量积方向的），我们可以得出结论：

如果 $x_1y_2-x_2y_1>0$

那么 $\bold B$ 就由 $\bold A$ 在 $(x,y,0)(x\in \R,y\in \R)$ 平面内逆时针旋转 $\theta$ 度得到。

反之，$\bold B$ 就由 $\bold A$ 在 $(x,y,0)(x\in \R,y\in \R)$ 平面内顺时针旋转 $\theta$ 度得到。

$x_1y_2-x_2y_1=0$ 时他俩重合奥。

就像这样

$\bold A\times\bold C>0,\bold A\times\bold B<0$

极角排序

建立极坐标系，以 $O$ 为极点，$Ox$ 为极轴 ，正方向定义为逆时针方向。

设 $(x,y)$ 为一个点 $A$ （看做一个向量也行），那么这个点的极角是 $\angle xOA$。

一种做法是直接利用 $atan2$ 函数求出极角进行排序，不过运算结果是 double，只能说懂得都懂。

还有一种做法就是先求出极角终边在哪个象限，然后利用叉乘求解。

划成四个象限似乎有些麻烦。

因为叉乘的应用范围是 $[0,\pi)$。所以我们只要将一个平面划为两部分。如果两个点落在同一部分，那么利用叉乘求解，落在不同部分我们就根据自己定义来直接判断即可。

举个例子，如果我们要让 第四象限的角 $<$ 第一象限的角 $<$ 第二 $<$ 第三。

那么我们将 $[-x,x)$ 划为第一部分，（$x$ 代表 $x$ 半轴，$-x$ 就是负半轴），另一块是第二部分，如果两个点落在第一部分，那么用叉乘计算，如果 $\bold A\times \bold B>0$ ，那么 $\bold A$ 的极角小于 $\bold B$ 的极角。

如果落在不同部分，根据我们的定义，第一部分的就小于第二部分。

凸包

这一块 oiwiki 讲的很详细了，我偷个懒。凸包。

闵可夫斯基和

看我写的这篇：https://www.cnblogs.com/nightsky05/p/16211683.html