莫比乌斯反演

莫比乌斯反演

约定

$[x]$ 为逻辑判断函数，若 $x$ 为真则 $[x]=1$ 否则为 $0$

积性函数

对于一个数论函数 $f$。若当 $gcd(i,j)=1$ 时，满足 $f(i\times j)=f(i)\times f(j)$ 则称 $f$ 为积性函数。

若对于任意 $i,j$ 满足 $f(i\times j)=f(i)\times f(j)$ 则称 $f$ 为完全积性函数。

常见的积性函数：

单位元函数 $\epsilon(n)=[n=1]$

乘法单位元函数 $E(n)=1$

莫比乌斯函数 $\mu(n)$

欧拉函数 $\varphi(n)$

狄利克雷卷积

设 $f,g$ 为两个数论函数，则卷积运算定义为：

$$(f*g)(n)=\sum_{d|n}{f(d)\times g(\frac{n}{d})}$$

也可以写成：

$$(f*g)(n)=\sum_{ij=n}f(i)\times g(j)$$

这个卷积满足交换律结合律。

交换律：由定义显然可知。

结合律：

$$\begin{aligned} (h*(f*g))(n)&=\sum_{pk=n}(\sum_{ij=p}f(i)\times g(j)))\times h(k) \\ (h*(f*g))(n)&=\sum_{ijk=n}f(i)\times g(j)\times h(k) \end{aligned}$$

定义乘法单位元函数 $E$ 有 $E(i)=1$。那么就有：

$$\begin{aligned} (f*E)(n)&=\sum_{d|n}{f(d)\times E(\frac{n}{d})} \\ (f*E)(n)&=\sum_{d|n}{f(d)} \end{aligned}$$

定义单位元函数 $\epsilon(n)=[n=1]$。那么就有：

$$\begin{aligned} (f*\epsilon)(n)&=\sum_{d|n}{f(d)\times \epsilon(\frac{n}{d})} \\ (f*\epsilon)(n)&=f(n) \end{aligned}$$

逆元

将 $f$ 在狄利克雷卷积意义下的逆元记作 $f^{-1}$。定义 $(f*f^{-1})(n)=\epsilon(n)$

莫比乌斯函数

设 $n=\prod{p_i^{c_i}}$ 其中 $c>0$ 而 $p_i$ 为质数。

定义 $\mu(n)$ 函数为：

$$\mu(n)= \left\{ \begin{aligned} 1& &n=1 \\ (-1)^m& &\not\exist c_i>1 \\ 0& &\exist c_i>1 \end{aligned} \right.$$

说人话就是，如果 $n$ 的某一个质因子的个数大于 $1$ 那么 $\mu(n)=0$ 。否则 $\mu(n)=(-1)^m$ ，$m$ 表示 $n$ 的质因子个数。特殊地，我们定义 $\mu(1)=1$。

结论：莫比乌斯函数的逆元是 $E$ 。

即有 $(\mu*E)(n)=\epsilon(n)$。

证明：

设 $n=\prod_{i=1}^m p_i^{c_i}$。

$$\begin{aligned} (\mu*E)(n)&=\sum_{d|n}\mu(d)\times E(\frac{n}{d}) \\ &=\sum_{d|n}\mu(d) \\ &=\sum_{i=0}^{m}{\dbinom{m}{i}(-1)^i} \\ &=\sum_{i=0}^{m}{\dbinom{m}{i}(-1)^i(1)^{m-i}} \\ &=(-1+1)^m \\ &= 0 \end{aligned}$$

特殊地，$(\mu*E)(1)$ 显然为 $1$。

也就是说 $(\mu*E)(n)=[n=1]$ 。

那么可得 $(\mu*E)(n)=\epsilon$ 。

莫比乌斯反演

对于两个数论函数 $f,g$。若有 $f(n)=\sum_{d|n}g(d)$。

则：

$g(n)=\sum_{d|n}f(d)\mu(\frac{n}{d})$。

证明：

$$\begin{aligned} f(n)&=\sum_{d|n}g(d) \\ f(n)&=(g*E)(n) \\ (f*\mu)(n)&=(g*E*\mu)(n) \\ (f*\mu)(n)&=(g*\epsilon)(n) \\ \sum_{d|n}f(d)\times\mu(\frac{n}{d})&=g(n) \end{aligned}$$

得证。