线性微分方程解的结构

二阶线性微分方程的定义

\[方程y''+p(x)y'+q(x)y=f(x)叫做二阶线性微分方程，当方程右端f(x)\equiv 0时，称\\ 为二阶齐次线性微分方程，否则称为二阶非齐次线性微分方程 \]

线性微分方程解的结构

定理1

\[如果函数y_1(x),y_2(x)均是y''+p(x)y'+q(x)y=0的解，则C_1y_1(x)+C_2y_2(x)也\\ 是该方程的解，其中C_1,C_2为任意常数 \]

函数相关，无关的定义

\[设y_1(x),y_2(x),\dots,y_n(x)为定义在区间I上的n个函数，如果存在n个不全为零的常数\\ K_1,K_2,\dots,K_n,使得当x\in I时有恒等式\\ k_1y_1+K_2y_2+\dots +k_ny_n=0\\ 成立，那么就称这个n个函数区间I上线性相关，否则称线性无关 \]

定理2

\[如果函数y_1(x),y_2(x)是方程y''+p(x)y'+q(x)y=0的两个线性无关的特解,则\\ y=c_1y_1(x)+c_2y_2(x)\quad(c_1,c_2为任意常数)是该方程的通解 \]

推论

\[如果y_1(x),y_2(x),\dots,y_n(x)是n阶齐次线性方程的n个线性无关的解，那么该方程的通解为\\ y=c_1y_1(x)+c_2y_2(x)+\dots+c_ny_n(x),其中c_1,c_2,\dots ,c_n为任意常数 \]

定理3

\[设y_1(x),y_2(x)是二阶非齐次线性方程y''+p(x)y'+q(x)y=f(x)的俩个解，则\\ y_1(x)-y_2(x)是方程y''+p(x)y'+q(x)y=0的解 \]

定理4

\[设y^*是二阶非齐次线性方程y''+p(x)y'+q(x)y=f(x)的一个特解,y=y^{\thicksim}+Y^*为齐次线性微分方程的通解 \]

叠加原理

\[设非齐次线性方程y''+p(x)y'+q(x)y=f_1)x+f_2(x),\\ 若y_1^*是y''+p(x)y'+q(x)y=f_1(x)的解，y_2^*是y''+p(x)y'+q(x)y=f_2(x)的解，则\\ y_1^*+y_2^*是原方程的解 \]

注：

非齐次解的线性组合仍是非齐次的解，只要系数相加为1

非齐次解的线性组合为齐次的解，只要组合系数相加为0