二重积分化简计算

积分区域关于x或y对称的性质

\[(1)若积分区域D关于x轴对称，则\\ \iint\limits_Df(x,y)d\sigma=\begin{cases} 0,\qquad若f(x,-y)=-f(x,y),\\ 2\iint \limits_{D_1}f(x,y)d\sigma,\qquad 若f(x,-y)=f(x,y) \end{cases}\\ 其中D_1=D\cap\{y\geq 0\} \]

\[(2)若积分区域D关于y对称，则\\ \iint\limits_Df(x,y)dxdy=\begin{cases}0,若f(x,y)=-f(-x,y)\\ 2\iint\limits_{D_1}f(x,y)dxdy,若f(x,y)=f(-x,y)\\ \end{cases}\\ 其中D_1=D\cap\{x\geq0\} \]

\[(3)若积分区域D关于直线y=x对称，即(x,y)\in D\Leftrightarrow (y,x)\in D,则\\ \iint\limits_Df(x,y)d\sigma=\iint\limits_Df(y,x)d\sigma=\frac12\iint\limits_D[f(x,y)+f(y,x)]d\sigma \\ 特别地，\iint\limits_Df(x)d\sigma=\iint\limits_Df(y)d\sigma=\frac12\iint\limits_D[f(x)+f(u)]d\sigma \]