二重积分的概念与性质

二重积分的概念

\[设f(x,y)是有界闭区域D上的有界函数，将闭区域D任意分成n个小闭区域\\ \Delta\sigma_1,\Delta\sigma_2,\dots,\Delta\sigma_n其中\Delta_i即表示第i个小区域，也表示它的面积，在每个\Delta\sigma_i上任取一点\\ (\xi_i,\eta_i)作为乘积f(\xi_i,\eta_i)\Delta\sigma_i(i=1,2,\dots,n),并作和式\sum_{i=1}^nf(\xi_i,\eta_i)\Delta\sigma_i,如果当各个小闭\\ 区域的直径中的最大值\lambda趋近于零时,极限\lim_{\lambda\rightarrow0}\sum_{i=1}^{n}f(\xi_i,\eta_i)\Delta\sigma_i存在，且与闭区域D的分法\\ 及点(\xi_i,\eta_i)的取法无关，则称此极限为函数f(x,y)在闭区域D上的二重积分，记作\\ \iint\limits_Df(x,y)d\sigma,即\\ \iint\limits_Df(x,y)d\sigma=\lim_{\lambda\rightarrow0}\sum_{i=1}^nf(\xi_i,\eta_i)\Delta\sigma_i\\ 其中f(x,y)叫做被积函数，f(x,y)d\sigma叫做被积表达式，d\sigma叫做面积元素，x,y叫做积分\\ 变量，D叫做积分区域，\sum_{i=1}^{n}f(\xi_i,\eta_i)\Delta_i叫做积分和 \]

几何意义

\[对于任意(x,y)\in D,f(x,y)\geq ,则\iint\limits_Df(x,y)d\sigma表示以D为低，z=f(x,y)为\\ 顶的曲顶柱体的体积 \]

存在定理

\[若f(x,y)在有界闭区域D上连续，则\iint\limits_Df(x,y)d\sigma存在 \]

二重积分的性质

性质1

\[设a,b为常数，则\\ \iint\limits_D[af(x,y)+bg(x,y)]d\sigma=a\iint\limits_Df(x,y)d\sigma+b\iint\limits_Dg(x,y)d\sigma \]

性质2

\[如果闭区域D被有限条曲线分为有限个部分的闭区域，那么在D上的二重积分等于\\ 在各部分闭区域的二重积分的和\\ 例如区域D分为两个部分闭区域D_1,D_2,则\\ \iint\limits_Df(x,y)d\sigma=\iint\limits_{D_1}f(x,y)d\sigma+\iint\limits_{D_2}f(x,y)d\sigma \]

性质3

\[若在D上，f(x,y)\equiv1,A为区域D的面积，则\iint\limits_D1d\sigma=A\\ 几何意义：高为1的平顶柱体的体积在数值上等于柱体的底面积 \]

性质4

\[若在D上，f(x,y)\leq g(x,y),则\\ \iint\limits_Df(x,y)d\sigma\leq\iint\limits_Dg(x,y)d\sigma\\ 进一步地，若f(x,y)\leq g(x,y),且f(x,y)\not\equiv g(x,y),则\\ \iint\limits_Df(x,y)d\sigma<\iint\limits_D g(x,y)d\sigma \]

\[特殊地，由于-|f(x,y)|\leq f(x,y) \leq|f(x,y)|\\ \Big|\iint\limits_Df(x,y)d\sigma\Big|\leq\iint\limits_D|f(x,y)|d\sigma \]

性质5

\[设M与m分别是f(x,y)在闭区间D上的最大值M和最小值m，S_D是D的面积则\\ m.S_D\leq\iint\limits_Df(x,y)d\sigma\leq M.S_D \]

性质6（二重积分的中值定理）

\[设函数f(x,y)在闭区域D上连续，S_D是D的面积，则D上至少存在一点(\xi,\eta),使得\\ \iint\limits_Df(x,y)d\sigma=f(\xi,\eta).S_D \]