无条件极值

极值的定义

\[设函数z=f(x,y)在点(x_0,y_0)的某个邻域内有定义，如果对此邻域内任意异于\\ (x_0,y_0)的点(x,y)都有\\ f(x,y)<f(x_0,y_0)\\ 则称函数z=f(x,y)在点(x_0,y_0)有极大值f(x_0,y_0)，点(x_0,y_0)称为函数f(x,y)的\\极大值点；如果在对此邻域内任意异于(x_0,y_0)的点(x,y)都有\\ f(x,y)>f(x_0,y_0)的点(x,y)都有\\ f(x,y)>f(x_0,y_0)\\ 则称函数z=f(x,y)在点(x_0,y_0)有极小值f(x_0,y_0)\\ 则称函数z=f(x,y)在点(x_0,y_0)有极小值f(x_0,y_0),点(x_0,y_0)称为函数f(x,y)的\\ 极小值点 \]

极值存在的必要条件

\[设函数z=f(x,y)在点(x_0,y_0)具有偏导数，且在点(x_0,y_0)处有极值，则有\\ f_x(x_0,y_0)=0,f_y(x_0,y_0)=0\\ 使得f_x(x_0,y_0)=0,f_y(x_0,y_0)=0同时成立的点(x_0,y_0)称为函数z=f(x,y)的驻点\\ 由改定理可知：具有偏导数的极值点一定是驻点\\ \]

注：1）驻点不一定是极值点，极值点还可以式偏导数不存在的点

2）极值点只可能是驻点或偏导数不存在的点

极值存在的充分条件

\[设函数z=f(x,y)在(x_0,y_0)的某邻域内具有连续的一阶及二阶偏导数，又\\ f_x(x_0,y_0)=0,f_y(x_0,y_0)=0令\\ f_{xx}(x_0,y_0)=A,f_{xy}(x_0,y_0)=B,f_{yy}(x_0,y_0)=C\\ 则f(x,y)在(x_0,y_0)处是否取得极值的条件如下：\\ 1)AC-B^2>0时具有极值，且当A<0时有极大值，当A>0时有极小值；\\ 2)AC-B^2<0时没有极值;\\ 3)AC-B^2=0时可能有极值，也可能没有极值，还需另做讨论 \]

算极值步骤

\[1）\frac{\partial z}{\partial x}\qquad \frac{\partial z}{\partial y}\\ 2)令\begin{cases}\frac{\partial z}{\partial x}=0\\ \frac{\partial z}{\partial y}=0 \end{cases}\Rightarrow(x_0,y_0),(x_1,y_1)\\ 3)\frac{\partial^2z}{\partial x^2},\frac{\partial ^2 z}{\partial x\partial y},\frac{\partial ^2z}{\partial y^2}\\ 4)代入驻点的值算A,B,C\\ A=\frac{\partial ^2z}{\partial x^2}\Big|_{(x_0,y_0)}\qquad B=\frac{\partial^2z}{\partial x\partial y}\Big|_{(x_0,y_0)}\qquad C=\frac{\partial^2z}{\partial y^2}\Big|_{(x_0,y_0)}\\ 5)判断 AC-B^2 \]