多元函数的极限

1.多元函数的概念

（1）定义

\[设D是平面上的一个非空子集，称映射f:D\rightarrow R为定义在D上的二元函数，记为\\ z=f(x,y),(x,y)\in D\\ 其中点集D称为函数的定义域，集合f(D)=\{z|z=f(x,y),(x,y)\in D\}称为函数的值域\\ 类似可定义三元函数u=f(x,y,z) \]

2.集合意义

\[二元函数z=f(x,y)表示一张空间曲面，例如z=x^2+y^2的图形为旋转抛物面；\\ z=\sqrt{1-x^2-y^2}的图形为上半圆 \]

预判：1，若分子次数大于分母次数通常考虑极限存在

2，若分子次数小于分母次数，通常极限不存在

3，多元函数的连续性

（1）定义

\[设二元函数z=f(x,y)在(x_0,y_0)的某邻域有定义，若\\ \lim_{(x,y)\rightarrow (x_0,y_0)}f(x,y)=f(x_0,y_0),\\ 则称函数f(x,y)在点(x_0,y_0)连续\\ \qquad 如果函数f(x,y)在D的每一点都连续，则称函数(x,y)在D上连续，或者说\\ f(x,y)是D上的连续函数 \]

（2）有界闭区域D上的多元函数连续函数的性质

性质1（有界性与最大值最小值定理）在有界闭区域D上的多元连续函数必定在D上有界、

且能取得它的最大值最小值

性质2（介值定理）在有界闭区间D上的多元连续函数必取得介于最大值和最小值之间的任何值