7.4 图的连通性问题

最小生成树
普里姆算法、克鲁斯卡尔算法

最小生成树

问题提出

要在n个城市间建立通信联络网，
顶点——表示城市
权——城市间建立通信线路所需花费代价
希望找到一棵生成树，它的每条边上的权值之和（即建立
该通信网所需花费的总代价）最小———最小代价生成树

n个城市间，最多可设置n(n-1)/2条线路
n个城市间建立通信网，只需n-1条线路

• 问题转化为：如何在可能的线路中选择n-1条，能把
  所有城市（顶点）均连起来，且总耗费
  （各边权值之和）最小

构造最小生成树方法

普里姆(Prim)算法/T(n)=O(V²)

算法思想：

• 设连通网N=(V,{E}),
  点集U为已处理点集，最小生成树边集TE。
• 初始任取一点，加入U，使U={v0}；
• 在所有u∈U,v∈V-U的边(u,v)∈E中，找一条代价最小的边(u0,v0)

两点确定一条边，即在所有生成树邻接的边里找条最小的。

• 将(u0,v0)并入集合TE，同时v0并入U

把边并入生成树，点并入已处理点集。

• 重复操作直至U=V。

克鲁斯卡尔(Kruskal)算法/O(E log E)

算法思想：

• 设连通网N=(V,{E})，
  初始状态为只有n个顶点而无边的非连通图T=(V,{∅})，每个顶点自成一个连通分量
• 在E中选取代价最小的边，若该边依附的顶点落在T中不同的连通分量上，则将此边加入到T中；
• 否则，舍去此边，选取下一条代价最小的边依此类推，直至T中所有顶点都在同一连通分量上为止。

一开始所有点各自独立，遍历E集合选代价最小边，若该边的两个顶点落在不同连通分量上，就加进T，直到T里所有顶点全在一个连通分量上。