【洛谷】P4167 [Violet]樱花

题面

又懒得弄题面，开个传送门吧

分析

  人生第一次切数学题，我们先把方程写出来

  $$\frac {1}{x}+\frac {1}{y}=\frac {1}{n!}$$

  现在我们知道的条件是x,y都是正整数（废话  所以我们考虑单独通过式子的变换将x,y表示出来，表示出来的式子算出来也一定是个整数

  $$\frac {1}{x}+\frac {1}{y}=\frac {1}{n!}$$

  $$\frac {1}{x}=\frac {1}{n!}-\frac{1}{y}$$

  $$\frac {1}{x}=\frac {y-n!}{n!\times y}$$

  $$x=\frac {n!\times y}{y-n!}$$

  那么$\frac {n!\times y}{y-n!}$一定是一个整数

  分母不太好看，不利于观察，所以假设$a=y-n!$,那么$y=a+n!$

  那么原方程可以化简为

  $$x=\frac {n!\times (a+n!)}{a}=\frac {n!\times a+n!\times n!}{a}=n!+\frac {n!\times n!}{a}$$

  所以，如果$a$是$n!\times n!$的约数，根据$y=a+n!$与$x=n!+\frac {n!\times n!}{a}$可以知道x,y都是正整数

  所以$n!\times n!$有多少个约数就有多少组解，直接分解质因数然后乘法原理计算就好了

  Code

#include<cstdio>
int n,p[1000005],unp[1000005],mn[1000005],mp[1000005];
void prework()
{
    unp[1]=1;
    for(int i=2;i<=1000000;i++)
    {
        if(!unp[i])p[++p[0]]=i,mn[i]=p[0];
        for(int j=1;1ll*p[j]*i<=1000000;j++)
        {
            unp[p[j]*i]=1;mn[p[j]*i]=j;
            if(i%p[j]==0)break;
        }
    }
}
int main()
{
    prework();scanf("%d",&n);
    for(int i=2;i<=n;i++)
    {
        int x=i;
        while(x>1)mp[p[mn[x]]]++,x/=p[mn[x]];
    }
    int ans=1;
    for(int i=1;i<=n;i++)ans=1ll*ans*(mp[i]*2+1)%1000000007;
    printf("%d\n",ans);
}