题目背景

此题为纪念 LiYuxiang 而生。

题目描述

LiYuxiang 是个天资聪颖的孩子，他的梦想是成为世界上最伟大的医师。为此，他想拜附近最有威望的医师为师。医师为了判断他的资质，给他出了一个难题。医师把他带到一个到处都是草药的山洞里对他说：“孩子，这个山洞里有一些不同种类的草药，采每一种都需要一些时间，每一种也有它自身的价值。我会给你一段时间，在这段时间里，你可以采到一些草药。如果你是一个聪明的孩子，你应该可以让采到的草药的总价值最大。”

如果你是 LiYuxiang，你能完成这个任务吗？

此题和原题的不同点：

1. 每种草药可以无限制地疯狂采摘。

2. 药的种类眼花缭乱，采药时间好长好长啊！师傅等得菊花都谢了！

输入格式

输入第一行有两个整数，分别代表总共能够用来采药的时间 t 和代表山洞里的草药的数目 m。

第 2 到第 (m+1) 行，每行两个整数，第 (i+1) 行的整数 ai​,bi​ 分别表示采摘第 i 种草药的时间和该草药的价值。

输出格式

输出一行，这一行只包含一个整数，表示在规定的时间内，可以采到的草药的最大总价值。

输入输出样例

输入 #1 
70 3
71 100
69 1
1 2
输出 #1 
140

说明/提示

数据规模与约定

  • 对于 30% 的数据，保证 m≤10^3 。
  • 对于 100% 的数据，保证 1≤m≤10^4，1≤t≤10^7，且 1≤m×t≤10^7，1≤ai​,bi​≤10^4.

 

借此题记录一下完全背包问题的笔记。

注意到，每种草药可以无限次采摘。

用一位数组dp [ j ]表示用 j 个空间所能承载的最大价值。(就此题而言，是 j 时间可以采摘的最大价值)

遍历物品。

当第i个物品的体积大于背包容量时，装不了。

当第i个物品的体积小于等于背包容量时，可以选择是否将该物品装入背包。此时有状态转移方程 dp [ j ] = max (dp[ j ] , dp[ j - w[ i ] ] + value [ i ])。前者表示不装，后者表示装。

 

要强调一点：因为每次更新dp [ j ]需要用到当前行的dp [ j - w[ i ] ]，所以内层循环一定要正序，跟01背包正好相反。

用二维dp描述，可以清晰的看见内层循环的这种差异。01背包中，dp [ i ][ j ] = max( dp [ i - 1 ][ j ], dp[ i-1][ j - weight[ i ] ] + value[ i ])

                                                                                    完全背包中，dp [ i ][ j ] = max( dp [ i - 1 ][ j ], dp[ i ][ j - weight[ i ] ] + value[ i ])

 

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#define ll long long
using namespace std;



ll read()
{
    ll x=0,f=1;
    char ch=getchar();
    while(ch<'0'||ch>'9')
    {
        if(ch=='-') f=-1;
        ch=getchar();
    }
    while(ch>='0'&&ch<='9')
    {
        x=x*10+ch-'0';
        ch=getchar();
    }
    return x*f;
}
int main()
{
    ll t,a;
    t=read();
    a=read();
    ll value[a],time[a],dp[t+5];
    memset(dp,0,sizeof(dp));
    for(int i=0;i<a;i++)
    {
        time[i]=read();
        value[i]=read();
    }
    for(int i=0;i<a;i++)
        for(int j=time[i];j<=t;j++)
            dp[j]=max(dp[j],dp[j-time[i]]+value[i]);
    cout<<dp[t];
    return 0;
}
dp