线型代数

行列式

 

1. | A | = | A^T |
2. 对换行（列）， 变号
3. 两（列）相同， 等于0
4. 某行乘以k, k 可提出。
5. 第i行（列）是两个数之和，则是两个行列式之和
6. 把1行（列）乘k加到另一行（列）行列式值不变。
7. 行列式展开法则

| A | = ∑ a_1j  A_1j,   代数余子式A_ij = (-1) ^i+j  M_ij

 

8. 范德蒙特行列式  

 

 

矩阵及运算

 

1. 矩阵用于向量线型变换的系数， 如投影和旋转
2. 单位矩阵 :E 和对角矩阵Λ: Diag(λ₁,λ₂, λ₃, …) .
3. 矩阵的相加 ：

A+B = B + A

(A+B) + C = A + (B+C)

4.             数乘 ：λ A = A λ
5. 矩阵相乘 ： 左边为系数， 右矩阵为多个向量， 那么相乘的意义就是多个向量的的线性变换

(AB) C = A (BC)

λ (AB) = (λA)B

A(B+C) = AB + AC

 

6. 矩阵的转置运算

(A^T )^T = A

(A+B）^T = A^T + B^T

(λA)^T = λA^T

(AB)^T = B^T A^T

 

7. 对称A^T=A， 元素沿着对角线相等
8. 矩阵的行列式

|A^T|=|A|

| λA| = λ|A|

|AB|=|A||B|

 

9. 逆矩阵 ： AB = BA =E , 则B = A^-1
10. 如A可逆， 则|A| ≠ 0
11. 如果|A| ≠ 0，则A可逆， 且

， 由代数余子式组成

12. |A| = 0, A 称为奇异矩阵， 否则非奇异矩阵
13. 矩阵可逆的充分必要条件是 非奇异矩阵
14. AB=E, B=A^-1
15. 矩阵逆运算

(A^-1 )^-1 = A

 (λA)^-1 = 1/λ A^-1

(AB)^-1 = B^-1 A^-1

 

16. 矩阵的多项式：φ(A) = a₀E + a₁A + a₂A² + … + a_mA^m

Φ(A) F(A) = F(A) Φ(A)

如果 A = PΛP^-1, 则φ(A) = P φ(Λ) P^-1 .

Λ是一个对角阵Λ: Diag(λ₁,λ₂, λ₃, …) .

 

17. 克拉默法则： 如果非齐次线型方程组 （Ax=b）的系数矩阵(方阵)A的行列式不等于0， |A|≠0， 则方程组有唯一解。

 

 

Aj 是矩阵A中第j列用常数项替换后的得到的 n 阶矩阵

 

18.    逆阵方法：x = A^-1b
19. 矩阵分块

I分块相加

 

 

II分块数乘

Aλ =

 

 

III分块相乘

 

 

 

            IV 矩阵转置

           

 

 

            V 对角分块：

 

   

            |A| = |A1| |A2| …|An|

           

 

 

矩阵的初等变换和线性方程组

1. 矩阵的初等变换

I 兑换两行（列）： r_i ↔r_j

II 数乘k某行（列）r_i ´k

III 把某一行（列）乘k再加到另外一行(列) r_i + r_j ´k

 

2. 矩阵A做有限次初等变换变成B，称作等价

矩阵A与B行等价 ， 记作

 矩阵A与B列等价 ，记作

矩阵A与B列等价等价，记作  A~B

 

3. 等价关系的性质

 

I   反身性A～A

II 对称性，如果A~B, B~A

II, 传递性， A~B, B~C, 则， A~C

 

4. 行梯形矩阵 ：倒梯形：i. 非0行在0行的上面，ii. 首非0元的下面为0 .
5. 最简型 ： i. 首非0元为1，ii. 非0元的后面都是0
6. 设A与B为 m´n矩阵， 那么

( i）的充要条件是存在m阶可逆矩阵P， 是PA=B

(ii) 的充要条件是存在n阶可逆矩阵Q， 是AQ=B

(iii) A ~B的充要条件是存在m阶可逆矩阵及n阶可逆矩阵Q， P是AQ=B

 

7. 单位矩阵E，经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵

 

8. A 是一个m´n矩阵，对A施行一次初等变换相当于A左乘一个m阶初等矩阵； 对A实施一次初等列变换相当于A右乘一个n阶初等矩阵

 

（i）                  到E的i,j两行对换得到初等矩阵E(i,j）

矩阵A的两行兑换≈ E_m(i,j)A , 两列兑换≈AE_n(i,j)

（ii）                行 数乘k ≈E_m(i(k))A , 列 数乘k ≈E_n(i(k))A

（iii）               A矩数乘k 到j行加到i行上去 ≈ E_m(i,j(k))A

            A矩数乘k 到i列加到j列上去 ≈A E_n(i,j(k))

 

 

 

9. 初等矩阵都是可逆的

E(i,j) ^-1 = E(ii,j)

E (i(k))^-1 = E (i())

E(ij(k))^-1 = E (ij(-k)

 

10. 方阵A可逆的充要条件是存在有限个初等矩阵P₁, P₂, …P_l, 是A=P₁P₂ …P_l
11. 方阵可逆的的充要条件是 
12. 增广矩阵（A,E）经过初等行变换成为（E,P）, 则P就是A^-1
13. 同理可以用作最简型的左乘矩阵, PA=F
14. 解矩阵方程 AX=B， 因为X= A^-1B，， 则P= A^-1B=X

 

15. 将矩阵初等行变换成阶梯形矩阵 ，矩阵的秩就是非0行的个数

 

16.  则A与B非0子式的最高阶相等

 

17. R阶非0子式D是A的最高阶非0子式， r = R(A)

 

18. 矩阵的秩的性质

1)     0 ≤ (A_mxn ) ≤ min(m,n)

2)     R (A^T) = R(A)

3)     若A~B,   则 R（A） = R（B）

4)     若P，Q可逆， R(PAQ)=R(A)

5)     Max(R(A), R(B)) ≤ R (A, B) ≤ R(A) + R(B)

6)     R(A+B) ≤ R(A) + R(B)

7)     R(AB) ≤ min(R(A), R(B))

8)     若A_mxnB_nxl  =  0, R(A) + R (B) ≤ n

 

19. N元线性方程组 Ax = b

无解的充要条件是 R（A） < R (A, b)

有唯一解的充要条件是R（A）=R（A,b） = n

有多个解的充要条件是R（A） = R (A, b) < n

有解的充要条件是R（A）=R（A,b）

 

20. N元齐次线性方程组 Ax = 0有非0解的充要条件是R（A）<n

N元线性方程组 Ax = B, 有解的充要条件是R（A）=R（A,B）

 

 

 

 

向量组的线性相关性

1. 几个有次序的数， a1, a2, …, an 所组成的数组称为n维向量。 这几个数称为n个分量。

, 行向量用a^T   表示。

 

2. 向量组： 若干同维数的列向量（行向量）组成的集合
3. 向量的线型组合

k₁a₁ + k₂a₂ + k₃a_{3 + … +} k_ma_m

 向量 能由向量组A：a1, a2, …, an线型表示的充要条件是矩阵A =（a1, a2, …, an）的秩等于矩阵B=（A,b）的秩

• 向量组B能由A线型表示，A能由B线型表示，则称两个向量组等价
• 向量 组B：b1, b2, …, bl能由向量组A：a1, a2, …, an线型表示的充要条件是矩阵R(A) = R(A,B)
• A和B等价的充要条件是R(A) =R(B) =  R(A,B)
• B 能有A线型表示的充要条件是R(B)≤R(A)
• k1a1 + k2a2 + k3a3 + … + k_ma_m = 0 , 有非0解则向量组线型相关， 无非零阶解则线型无关。
• 能由向量组A：a1, a2, …, an线性无关的充要条件是R（A） = n,  线型相关的充要条件是R(A) < n
• 向量组A：a1, a2, …, a_m线型相关， 则能向量组B：a1, a2, …, a_m, a_m+1也线型相关。反之，B线性无关， A也线性无关
• M个n维向量组，当维数n小于向量个数m的时候， 必相关。N+1个n维向量组必相关。
• 向量组A：a1, a2, …, a_m线型无关， 则能向量组a1, a2, …, a_m, b线型相关， 则b必能由A现行表示，且表示式唯一。
• 向量组的秩：向量组中最大无关向量组中向量的个数。只含有0向量的向量组的秩为0
• 矩阵的秩等于列向量的秩，也等于行向量的秩。
• 齐次线性方程组的最大无关解称为该齐次线性方程组的基础解系
• 齐次线性方程组的通解为基础解系的任意线型组合：k₁x_{1 +} k₂x_{2 + ..+} k_rx_r
• mdn 矩阵A的秩R(A) = r, 则n元齐次线型方程组Ax=0的解集S的秩：R(S) = n-r
• 若A_mxnB_nxl  =  0, R(A) + R (B) ≤ n : 因为R(B) ≤ n-r, R(A) 故R(A) + R (B) ≤ n
•  对于Ax=b, x= h₁和, x= h₂是方程组的两个解， 则x = h_1-h₂ 是Ax=0的解
• , x= h是方程组Ax=b的解, x= x是Ax=0的解， 则x= h + x也是Ax=b的解。
• 向量空间 ： 设V是n维向量的集合， 如果V非空集合， 而且集合V对于向量的加法和数乘两种运算封闭，则成集合V为向量空间。
• S = {x |Ax=0 }, 是一个向量空间 （齐次线型方程组的解空间）
• S = {x |Ax=b }, 不是一个向量空间
• 向量空间V₁ 和V_2, 如果V₁ ÍV_2, V₁ 是V₂的子空间。
• 向量空间V_，内有a₁, a₂, …, a_r, Î V, 且满足

1. a₁, a₂, …, a_r线性无关
2. V中任何向量都刻由a₁, a₂, …, a_r线性表示

a₁, a₂, …, a_r称为向量空间V的一个基， r是向量空间维数， V称为r维向量空间

 

27. 如果向量空间V取定一个基a₁, a₂, …, a_r，那么V中任何一个向量都可唯一的表示为 x = λ₁a₁+ λ₂a₂+…+ λ_ra_r, λ_1, λ_2,.., λ_r称为向量在基a1, a2, …, ar上的坐标。
28. 基坐标变换 公式:从基A变换到基B， Ax = B, x = A^-1B, x称为过度矩阵
29. 坐标变换公式： 是 向量x在基A上的坐标， 向量x在基B上的新坐标。x = Ay=Bz， 则z = B^-1Ay

 

 

相似矩阵和二次型

1. 向量的内积： [x,y] = x₁y_{1 +} x₂y_{2 +} … + x_ny_n

, [x,y] = x^T y, 其结果是一个实数。

 

2. 内积有下列性质

[x,y] = [y,x]

[λx,y] = λ[x,y]

[x+y,z] = [x,z] + [y,z]

当x=0时，[x,x]=0, 当x≠0时，[x,x] > 0

3. 施瓦茨不等式

[x,y]² ≤ [x,x] [y,y]

 

4. 向量的数量积

x∙y=|x||y|cos θ

 

5. ||x|| =   , 称为n为向量x的长度（范数）

非负性, 当x=0时，||x||=0, 当x≠0时，||x|| > 0

齐次性 ||λx|| = |λ| ||x||

 

6. 单位向量， ||x|| = 1 , 单位化 x =

    

7. 由施瓦茨(Schwarz)不等式，，当x≠0而且,y≠0时cosθ =

    

8. 当[x,y]=0,x与y正交
9. 正交向量组，两两正交的非0向量组
10. 正交向量组a₁, a₂, …, a_r，线性无关
11. N  维向量a₁, a₂, …, a_r是向量空间V（）的一个基_，如果两两正交，而且都是单位向量，称为标准正交基
12. 施密特（Schmidt）正交化

 

           

13. 如果n阶矩阵A满足， A^TA=E, (即A^-1 = A^T). 那么A为正交矩阵， 简称正交阵。

 

 

              

14. 正交阵的充要条件是A的列向量都是单位向量而且两两正交。
15. 如果P是正交阵， y=Px,  称为正交变换。

 

正交变换，向量长度保持不变（从而三角形的形状保持不变：加入两个向量同时做正交变换）， 这是正交变换的优良特性。

 

16. 设A是n阶矩阵， 如果数λ和n维非零列向量是关系式成立

Ax = λx, 那么这样的数λ，称为矩阵A的特征值， 非零向量x称为A的对应于λ的特征向量。

关系式也可写成(A-λE)x = 0， 它有非零阶的充要条件是|A-λE| = 0

17. 特征方程：|A-λE| = 0， 特征多项式：|A-λE|， A的特征值就是特征方程的解 。特征方程在附属范围内恒有解， 其个数为方程的次数， （重根按重数计算）， 因此， 方程有n个特征值。
18. 设n 阶矩阵A = (a_ij)的特征值为λ_1，λ_2…,，λ_n, 则

λ1+λ2+…+λn = a₁₁ + a₂₂+…+a_nn,

λ1λ2…λn = |A|

 

19. λ是方阵A的特征值，则

λ² 是A²的特征值

当A可逆的时候，是A^-1的特征值

20. λ_1，λ_2…,，λ_n是方阵A的特征值， p₁, p_2,.. p_n  依次是与之对应的特征向量。 如果λ_1，λ_2…,，λ_n各不相同，则p1, p2,.. pn  线性无关 。
21. A， B都是n阶矩阵， 若有可逆矩阵 P， 使 P^-1AP=B, 则称B是A的相似矩阵 。P^-1AP称为对A进行相似变换， P为相似变换矩阵
22. 若n阶矩阵A和B相似， 则A和B的特征多项式相同，从而A与B的特征值相同。
23. 若n阶矩阵A和对角阵Λ相似， 则λ_1，λ_2…,，λ_n,是A的n个特征值

 

 

 

24. 若A = PBP^-1, 则A^k= PB^kP^-1, φ(A) = P φ (B)P^-1, 对于对角阵：

 

 

25. 对于n阶矩阵A， 寻求变换矩阵P,使 P^-1AP=Λ, 称作把A对角化。

P^-1AP=Λ=>

AP = PΛ=>

A(p₁,p₂,…,p_n) = (λ₁p₁, λ₁p₂,…, λ₁p_n) =>

Ap_i = λ_ip_i (i=1,2,…n) => λ_i 是特征值_，p_i是与之对应的特征向量 。

P就是由n个特征向量组成的方阵。=>

P是否可逆？即是否线型无关=>

如果可逆，便有P^-1AP=， 集A与对角阵相似。

 

26. 对于n阶矩阵A与对角阵相似的充要条件是A有n个线性无关的特征向量。
27. 如果特征值无不相等， 则A与对角阵相似
28. 对阵矩阵

特征值为实数

特征值不同，则特征向量正交

 

29. A是n阶对称矩阵， 则必有对角阵与其相似。对角阵的对角元素是A的特征值
30. A是n阶对称矩阵， λ是k重根，则R（A- λE）=n-k, 从而λ有k个对应的线型无关的特征向量。