二叉搜索树
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一、什么是二叉搜索树
首先让我们回顾之前说过的查找问题：上次我们之讲过了静态查找，这次我们将通过二叉搜索树实现动态查找。但是针对动态查找，数据该如何组织呢？
二叉搜索树（BST，Binary Search Tree），也称二叉排序树或二叉查找树
二叉搜索树：一颗二叉树，可以为空；如果不为空，满足以下性质：
- 非空左子树的所有键值小于其根节点的键值
- 非空右子树的所有键值大于其根节点的键值
- 左、右子树都是二叉搜索树
二、二叉搜索操作的特别函数：
Position Find(ElementType X, BinTree BST)：从二叉搜索树BST中查找元素X，返回其所在结点的地址；
Postion FindMin(BinTree BST)：从二叉搜索树BST中查找并返回最小元素所在结点的地址；
Postion FindMax(BinTree BST)：从二叉搜索树BST中查找并返回最大元素所在结点的地址；
BinTree Insert(ElementType X, BinTree BST)
BinTree Delete(ElementType X, BinTree BST)
三、二叉查找树的查找操作：Find
- 查找从根节点开始，如果树为空，返回NULL
- 若搜索树非空，则根节点关键字和X进行比较，并进行不同处理：
若X小于根节点键值，只需在左子树中继续搜索
如果X大于根节点的键值，在右子树中进行继续搜索
若两者比较结果是相等，搜索完成，返回指向此结点的指针
/* c语言实现 */
Position Find(ElementType X, BinTree BST)
{
if (!BST) return NULL; // 查找失败
if (X > BST->Data)
return Find(X, BST->Right); // 在右子树中继续查找 // 尾递归
else if (X < BST->Data)
return Find(X, BST->Left); // 在左子树中继续查找 // 尾递归
else // X == BST->Data
reutrn BST; // 查找成功，返回结点的找到结点的地址
}
# python语言实现
def find(self, root, val):
'''二叉搜索树查询操作'''
if root == None:
return False
if root.val == val:
return True
elif val < root.val:
return self.query(root.left, val)
elif val > root.val:
return self.query(root.right, val)
由于上述非递归函数的执行效率高，可将“尾递归”函数改为迭代函数
/* c语言实现 */
Position IterFind(ElementType X, BinTree BST)
{
while (BST){
if (X > BST->Data)
BST = BST->Right; // 向右子树中移动，继续查找
else if (X < BST->Data)
BST = BST->Left; // 向左子树中移动，继续查找
else // X == BST->Data
return BST; // 查找成功，返回结点的找到结点的地址
}
reuturn NULL; // 查找失败
}
# python语言实现
def iter_find(self, root, val):
'''二叉搜索树查询操作'''
while root:
if root.val == val:
return root
elif val < root.val:
root = root.left
elif val > root.val:
root = root.right
if root == None:
return False
查找效率决定于树的高度
四、查找最大和最小元素
- 从根节点开始，沿着右子树一直往下，直到找到最后一个右子树节点，最大元素一定是在树的最右分支的端结点上
- 从根节点开始，沿着左子树一直往下，直到找到最后一个左子树节点，最小元素一定是在树的最左分支的端结点上
/* c语言实现 */
// 查找最小元素的递归函数
Position FindMin(BinTree BST)
{
if (!BST) return NULL; // 空的二叉搜索树，返回NULL
else if (!BST->Left)
reuturn BST; // 找到最左叶结点并返回
else
return FindMin(BST->Left); // 沿左分支继续查找
}
// 查找最大元素的迭代函数
Postion FindMax(BinTree BST)
{
if (BST)
while (BST->Right) BS = BST->Right; // 沿右分支继续查找，直到最右叶结点
return BST;
}
# python语言实现
# 查找最小值
def findMin(self, root):
'''查找二叉搜索树中最小值点'''
if root.left:
return self.findMin(root.left)
else:
return root
# 查找最大值
def findMax(self, root):
'''查找二叉搜索树中最大值点'''
if root.right:
return self.findMax(root.right)
else:
return root
五、二叉搜索树的插入
分析：关键是要找到元素应该插入的位置，可以采用与Find类似的方法。
/* c语言实现 */
BinTree Insert(ElementType X, BinTree BST)
{
if (!BST){ // 若原树为空，生成并返回一个结点的二叉搜索树
BST = malloc(sizeof(struct TreeNode));
BST->Data = X;
BST->Left = BST->Right = NULL;
}else // 开始找要插入元素的位置
if (X < BST->Data)
BST->Left = Insert(X, BST->Left); // 递归插入左子树
else if (X > BST->Data)
BST->Right = Insert(X, BST->Right); // 递归插入右子树
// else X已经存在，什么都不做
return BST;
}
# python语言实现
def insert(self, root, val):
'''二叉搜索树插入操作'''
if root == None:
root = TreeNode(val)
elif val < root.val:
root.left = self.insert(root.left, val)
elif val > root.val:
root.right = self.insert(root.right, val)
return root
例：以一年十二个月的英文缩写为键值，按从一月到十二月顺序输入（以第一个字母、第二个字母的顺序），即输入序列为（Jan, Feb, Mar, Apr, May, Jun, July, Aug, Sep, Oct, Nov, Dec）
六、二叉搜索树的删除
考虑三种情况
6.1 删除的是叶结点
直接删除，并再修改其父结点指针——置为NULL
以删除35举例：
6.2 删除的结点只有一个孩子结点
以删除33举例
6.3 删除的结点有左右子树
用另一结点替代被删除结点：右子树的最小元素或者左子树的最大元素
以删除41举例
下图为右子树的最小元素替代：
下图为左子树的最大元素替代：
/* c语言实现 */
BinTree Delete(ElementType X, BinTree BST)
{
Position Tmp;
if (!BST) printf("要删除的元素未找到");
else if (X < BST->Data)
BST->Left = Delete(X, BST->Left); // 左子树递归删除
else if (X > BST->Data)
BST->Right = Delete(X, BST->Right); // 右子树递归删除
else // 找到要删除的结点
if (BST->Left && BST->Right){ // 被删除结点有左右两个子结点
Tmp = FindMin(BST->Right); // 在右子树中找最小的元素填充删除结点
BST->Data = Tmp->Data;
BST->Right = Delete(BST->Data, BST->Right); // 在删除结点的右子树中删除最小元素
} else { // 被删除结点有一个或无子结点
Tmp = BST;
if (!BST->Left)
BST = BST->Right; // 有右孩子或无子结点
else if (!BST->Right)
BST = BST->Left; // 有左孩子或无子结点
fee(Tmp);
}
return BST;
}
# python语言实现
def delNode(self, root, val):
'''删除二叉搜索树中值为val的点'''
if root == None:
return
if val < root.val:
root.left = self.delNode(root.left, val)
elif val > root.val:
root.right = self.delNode(root.right, val)
# 当val == root.val时，分为三种情况：只有左子树或者只有右子树、有左右子树、即无左子树又无右子树
else:
if root.left and root.right:
# 既有左子树又有右子树，则需找到右子树中最小值节点
temp = self.findMin(root.right)
root.val = temp.val
# 再把右子树中最小值节点删除
root.right = self.delNode(root.right, temp.val)
elif root.right == None and root.left == None:
# 左右子树都为空
root = None
elif root.right == None:
# 只有左子树
root = root.left
elif root.left == None:
# 只有右子树
root = root.right
return root
七、Python递归实现-二叉搜索树
# python语言实现
class Node(object):
def __init__(self, element):
self.element = element
self.lchild = None
self.rchild = None
class Tree(object):
def __init__(self, root=None):
self.root = root
def add(self, cur, item):
if item < cur.element:
if cur.lchild:
self.add(cur.lchild, item)
else:
cur.lchild = Node(item)
else:
if cur.rchild:
self.add(cur.rchild, item)
else:
cur.rchild = Node(item)
