二叉树及存储结构
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一、二叉树的定义
二叉树T：一个有穷的结点集合。
- 这个集合可以为空
- 若不为空，则它是由根节点和称为其左子树\(T_L\)和右子树\(T_R\)的两个不相交的二叉树组成。
二叉树具体五种基本形态
二叉树的子树有左右顺序之分
二、特殊二叉树
2.1 斜二叉树（Skewed Binary Tree）
斜二叉树如下图所示：
2.2 完美二叉树（Perfect Binary Tree）
完美二叉树也称作满二叉树（Full Binary Tree）
完美二叉树如下图所示：
2.3 完全二叉树（Complete Binary Tree）
有n个结点的二叉树，对树中结点按从上至下、从左到右顺序进行编号，编号为\(i(1\leq{i}\leq{n})\)结点与满二叉树中编号为i结点在二叉树位置相同。
完全二叉树如下图所示：
如下图所示的二叉树即不为完全二叉树：
三、二叉树的几个重要性质
- 一个二叉树第i层的最大结点树为：\(2^{i-1}, \quad{i}\geq1\)
- 深度为k的二叉树有最大结点总数为：\(2^k -1, \quad k\geq{1}\)
- 对任何非空二叉树T，若\(n_0\)表示叶节点的个数、\(n_2\)是度为2的非叶结点个数，那么两者满足关系\(n_0=n_2+1\)
四、二叉树的抽象数据类型定义
类型名称：二叉树
数据对象集：一个有穷的结点集合。若不为空，则由根节点和其左、右二叉子树组成。
操作集：\(BT\in{BinTree},\quad Item \in ElementType\)，其重要操作有：
BooleanIsEmpty(BinTree BT)：判断BT是否为空；void Traversal(BinTree BT)：遍历，按某顺序访问每个结点；BinTree CreateBinTree()：创建一个二叉树。
4.1 常用的遍历方法
接下来介绍几个常用的遍历方法，未来会详细讲解。
void PreOrderTraversal(BinTree BT)：先序 --》根、左子树、右子树；
void InOrderTraversal(BinTree BT)：中序 --》左子树、根、右子树；
void PostOrderTraversal(BinTree BT)：后序 --》左子树、右子树、根；
void LevelOrderTraversal(BinTree BT)：层次遍历，从上到下、从左到右
五、二叉树的存储结构
5.1 顺序存储结构
完全二叉树：按从上至下、从左到右顺序存储，n个结点的完全二叉树的结点父子关系
- 非根节点（序号i>1）的父结点的序号是\([i/2]\)；
- 结点（序号为i）的左孩子结点的序号是2i（若\(2i\leq{n}\)，否则没有左孩子）；
- 结点（序号为i）的右孩子结点的序号是2i+1（若\(2i+1\leq{n}\)，否则没有右孩子）
一般二叉树也可以采用这种结构，但会造成空间浪费……
5.2 链表存储
/* c语言实现 */
typedef struct TreeNode *BinTree;
typedef BinTree Position;
struct TreeNode{
ElementType Data;
BinTree Left;
BinTree Right;
}
# python语言实现
class TreeNode:
def __init__(self, x):
self.val = x
self.left = None
self.right = None
单个子节点用下图所示链表表示：
使用链表对整棵树的表示如下：
