03 2023 档案
摘要：第二类斯特林数 第二类斯特林数$\begin{Bmatrix} n \k \end{Bmatrix}$表示把$n$个不同元素划分成$k$个相同的集合中（不能有空集）的方案数。 递推式 $$\begin{Bmatrix} n \k \end{Bmatrix} = \begin{Bmatrix} n -
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摘要：Just Add an Edge 一道妙题，考虑加入边$(x, y)$是合法的，那么原图一定能分成两条的不交的路径且覆盖了$n$个点，一条是以$x$为终点的，一条是以$y$为起点的。 将属于以$x$为终点的路的点标为$0$，属于$y$的标为$0$，那么第一个 $1$ 一定是$y$，最后一个 $0$
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摘要：Souvenirs 首先离线，考虑每一个点维护后面的点和它绝对值的最小值，那么答案就是一段后缀 $\min$，这个可以用树状数组来维护。那么现在的问题就是加入一个数，去更新前面的状态，假设现在加入了 $a_i$，我们只考虑$j < i, a_j > a_i$的情况，对于$a_j < a_i$是对称的
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摘要：Graph and Queries 一道比较套路的题，看到只有删边，容易想到可以倒过来做，将删边变成加边。但这样做后我们发现，难以处理询问后将$p_u = 0$。 我们想表示每个时刻哪些点是同一连通块，这是我们可以想到重构树，那么对于某一时刻，在同一连通块中的点一定是某棵子树内的点。这是我们可以用倍
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摘要：Partitions 对于$W(S)=|S|\sum\limits_{x\in S}w_x$考虑其意义，即是集合中每一个数都对$x$产生一个$w_x$的贡献。 那么考虑每一个$w_i$对总答案的贡献，即是自己对自己产生的贡献为$\begin{Bmatrix} n \k \end{Bmatrix} *
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摘要：Lust 转换一下操作，即将$\prod a_i$变为$a_1 *...a_{x-1} * (a_x - 1) * ... * a_n$，设对第$i$个数减了$b_i$，那么答案就是$\prod a_i - \prod (a_i - b_i)$。 考虑对于一组$b_i$，去求$\prod (a_i
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摘要：P4389 付公主的背包 对于一种商品，设其$OGF$为$f_i(x) = \sum x^{v_ij} = \frac{1}{1 - x^{v_i}}$。 那么答案就为$\prod f_i(x)$，套路的，求 $\ln$，则原式为 $$\sum \ln f_i(x) = -\sum \ln (1 -
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摘要：[ARC154E] Reverse and Inversion 先化简$f(P)$，考虑每一个 $i$ 的贡献，它等于 $$\sum_ii*(\sum_{j<i}[P_j > P_i] - \sum_{j > i}[P_j < P_i])$$ 因为$\sum_{j<i}[P_j > P_i] = i
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摘要：P5850 calc加强版 对于一个$n$，答案就是 $n! * [x^n]\prod^k_{i = 1} (1+ix)$。 乘积不好处理，求 $\ln$ 转化成加法 $$\exp (\sum\ln(1+ix))$$ 由 $\ln$ 定义可得 $$\ln(1+ix) = -\sum_{j\ge0}
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摘要：P4841 [集训队作业2013]城市规划 套路题，设$f_i$表示无标号联通图方案数，设$g_i$表示无标号图方案数，易得$g_i = 2^{\binom{n}{2}}$。 考虑固定 $1$ 得 $$g_n = \sum_{i = 1}^n\dbinom{n - 1}{i - 1}f_{i}g_{
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摘要：P5219 无聊的水题 I 计有标号树，容易想到 $\text{Prufer}$ 序列，那么对于度数的限制即使，每一个数的出现次数要小于等于$m - 1$，且一定要有等于的，容斥一下，用小于等于 $m-1$ 答案减去小于等于 $m - 2$ 即可。 对于一种数 $i$，设其$EGF$为 $$F(x)
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摘要：二次剩余 定义 对于同余方程 $x^2 \equiv n \pmod p$ 有解，则称 $n$ 为二次剩余，否则 $n$ 为非二次剩余，其中 $p$ 为奇素数。 欧拉准则 用于判断一个数 $n$ 是否为二次剩余。 当 $n^{\frac{p-1}{2}} \equiv 1$ 时，$n$ 为二次剩余；
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摘要：多项式牛顿迭代 对于$G(f(x)) = 0$，求解 $f\pmod {x^n}$ $x^{\left\lceil\frac{n}{2}\right\rceil} $ 意义下的解 $f_{0}\left(x\right)$，要求模 $x^{n}$ 意义下的解 $f\left(x\right)$。 有
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