第二类斯特林数

第二类斯特林数#

第二类斯特林数$\begin{Bmatrix} n \\k \end{Bmatrix}$表示把$n$个不同元素划分成$k$个相同的集合中（不能有空集）的方案数。

递推式#

$$\begin{Bmatrix} n \\k \end{Bmatrix} = \begin{Bmatrix} n - 1 \\k - 1 \end{Bmatrix} + k\begin{Bmatrix} n-1 \\k \end{Bmatrix}$$

考虑新加一个数放入一个单独的集合或放入$k$个已有数的集合即可。

通解#

$$\begin{Bmatrix} n \\k \end{Bmatrix} = \sum_{i = 0}^k \frac{(-1)^{k - i}*i^n}{(k-i)!*i!}$$

证明考虑设$f_i$表示把$n$个不同元素划分成$i$个的不同集合中（不能有空集）的方案数, $g_i$表示可以有空集的方案数。
那么有

$$g_i = i^n$$

$$g_i = \sum_{j = 0}^i\dbinom{i}{j}f_j$$

二项式反演一下

$$f_k = \sum_{j = 0}^k(-1)^{k - j}\dbinom{k}{j}g_j$$

所以

$$\begin{Bmatrix} n \\k \end{Bmatrix} = \frac{f_k}{k!} = \frac{1}{k!}* \sum_{j = 0}^k(-1)^{k - j}\frac{k!}{(k - j)!j!}j^n= \sum_{i = 0}^k \frac{(-1)^{k - i}*i^n}{(k-i)!*i!}$$

其他#

有公式

$$n^k = \sum_{i = 0}^{min(n,k)}\begin{Bmatrix} k \\i \end{Bmatrix}\dbinom{n}{i}i!$$

考虑组合意义，$n^k$即为将$k$个不同的数放入$n$个不同的集合，那么枚举非空集数量$i$，因为集合不同所以要乘$i!$。

P5395 第二类斯特林数·行#

模板题，求同一行的斯特林数，对于通解的式子

$$\begin{Bmatrix} n \\k \end{Bmatrix} = \sum_{i = 0}^k \frac{(-1)^{k - i}*i^n}{(k-i)!*i!}$$

显然是一个卷积的形式，$NTT$即可。