中国剩余定理[学习笔记]
扩展中国剩余定理[学习笔记]
很久以前就学了\(crt\)和\(Excrt\)，但一直都没有真正理解。今天又重新学习了一下，尤其是推式子的过程，就整理一下吧
\(Excrt\)用来解决的问题：
求解关于a的同余方程组：
\[\begin{cases}
a\equiv b_1\ (mod\ c_1)\\
a\equiv b_2\ (mod\ c_2)\\
...\\
a\equiv b_3\ (mod\ c_n)\\
\end{cases}
\]
不保证\(ci,cj\)互质
解法
已经知道了对于单一的关于\(a\)的同余方程\(a=b_i (mod\) \(c _i)\)，可以用exgcd的方法去求，那么只要我们将方程组的各个方程合成一个方程不就可以求解了吗？
将两个同余方程
\[\begin{cases}
a\equiv b_i\ (mod\ c_i)\\
a\equiv b_j\ (mod\ c_j)\\
\end{cases}
\]
合并 ：
联立方程组得
\[a=x_ic_i+b_i=x_jc_j+b_j
\]
两边交换
\[x_ic_i-x_jc_j=b_j-b_i
\]
\[x_ic_i\equiv b_j-b_i(mod\ c_j)
\]
设\(c,d\)为
\[c=b_j-b_i,d=gcd(c_i,c_j)
\]
很明显如果不满足\(d|c\)，方程无解
同除d，得
\[\frac{c_i}{d}x_i\equiv \frac{c}{d}(mod\ \frac{cj}{d})
\]
\[x_i\equiv \frac{c}{d}*inv(\frac{c_i}{d})(mod\ \frac{cj}{d})
\]
设\(K=\frac{c}{d}*inv(\frac{c_i}{d})\)，则
\[x_i=K+y\frac{c_j}{d}
\]
将\(x_i\)代回原来的\(a=x_ic_i+b_i\)，得
\[a=Kc_i+y\frac{c_ic_j}{d}+b_i
\]
\[a\equiv Kc_i+b_i(mod\ \frac{c_ic_j}{d})
\]
合并完成，新的\(b_i=Kc_i+b_i,c_i=\frac{c_ic_j}{d}\)
代码(照着上面膜你就好啦)
void excrt(ll bj,ll cj){
if(bi==0&&ci==0){
bi=bj,ci=cj;
return;
}
ll C=bj-bi,d=gcd(ci,cj),P=ci/d*cj;
if(C%d!=0){err=1; return;}
ll K=e(C/d%(cj/d),inv(ci/d,cj/d),(cj/d));
bi=(e(K,ci,P)+bi)%P,ci=P;
}
