ni_ju_ge 的 Splay 学习笔记

前言

书接上回，我们来学习要转来转去的平衡树—— Splay 树。

旋转

左旋

左旋拎右左挂右，即

代码实现：

void lturn(int &pos) {
	int ri=tree[pos].r;
	tree[pos].r=tree[ri].l;//左挂右
	tree[ri].l=pos;//拎右
	pos=ri;//还是拎右
	up(tree[pos].l);
	up(pos);
}

右旋

右旋拎左右挂左，就是复读机。

代码实现：

void rturnzag(int &pos) {
	int le=tree[pos].l;
	tree[pos].l=tree[le].r;
	tree[le].r=pos;
	pos=le;
	up(tree[pos].r);
	up(pos);
}

Splay

提问：旋转很多次的叫什么？
回答：那维莱特 Splay 树！

提问二：有一个退化成链的二叉查找树，从根节点开始分别为 $1$、$2$、$3$、$4$、$5$、$6$，插入一个数 $7$ 后，将其旋转到根节点后，这棵树变成了什么样？
回答：没错，它还是一条链。

提问三：那旋转还有什么用？
回答：装 B！ 可以用双旋！

双旋

前面的左旋（zag）和右旋（zig）都是单旋，两次单旋就是双旋操作了，双旋操作能有效打乱二叉搜索树。

Splay 树有以下四种双旋操作：

zig-zig

在 $p$ 不是根节点且 $x$ 和 $p$ 都是都是左侧子节点时操作。首先按照连接 $p$ 与其父节点 $g$ 边 zig，然后按照连接 $x$ 和 $p$ 的边 zig。

zag-zag

其实就是 zig-zig 的复读机。

zag-zig

在 $p$ 不是根节点且 $x$ 和 $p$ 分别是左侧子节点和右侧子节点时操作。首先按 $p$ 和 $x$ 之间的边 zag，然后按 $x$ 和 $g$ 新生成的结果边 zig。

zig-zag

其实就是 zag-zig 的复读机。

存储

简单的 Splay 存左子节点、右子节点、数据、子树大小和重复次数（可以不存，但要多维护一个父亲节点）即可。

struct node {
	int l,r,dat,size,same;
} tree[100000];
int root,cnt;
void make(int &pos,int val) {
	tree[++cnt].dat=val;
	tree[cnt].size=1;
	tree[cnt].same=1;
	pos=cnt;
}

伸展

Splay 很重要的操作就是伸展。即将某个节点旋转到根节点的操作。

我代码里的伸展是递归实现的，常数比较大，但不递归的要维护父节点，难度比较大，只能说鱼和熊掌不可兼得 XD。

void splay(int x,int &y) {
	if(x==y)return;
	int &l=tree[y].l,&r=tree[y].r;
	if(x==l)zig(y);
	else if(x==r)zag(y);
	else {
		if(tree[x].dat<tree[y].dat) {
			if(tree[x].dat<tree[l].dat)splay(x,tree[l].l),zig(y),zig(y);
			else splay(x,tree[l].r),zag(l),zig(y);
		} else {
			if(tree[x].dat<tree[r].dat)splay(x,tree[r].l),zig(r),zag(y);
			else splay(x,tree[r].r),zag(y),zag(y);
		}
	}
}

插入

与二叉搜索树一样，不过要注意，插入后还要伸展到根节点。

void take(int &pos,int val) {
	if(pos==0)make(pos,val),splay(pos,root);
	else if(val<tree[pos].dat)take(tree[pos].l,val);
	else if(val>tree[pos].dat)take(tree[pos].r,val);
	else tree[pos].same++,tree[pos].size++,splay(pos,root);//值相同，重复次数和子树大小增加
}

删除

找到该节点，将其伸展到根节点。

• 若其重复个数不止一个，直接从里面减去就行。
• 否则若其没有右子节点，直接将 root 替换为它的左子节点
• 否则找到它的后缀，将后缀伸展到它的右子节点，然后将右子节点的左子节点变为它的左子节点，然后将 root 改为它的右子节点（如果看不懂，就再看一遍）

void del(int val,int pos) {
	if(pos==0)return;
	else if(val<tree[pos].dat)del(val,tree[pos].l);
	else if(val>tree[pos].dat)del(val,tree[pos].r);
	else {
		splay(pos,root);
		if(tree[root].same!=1)tree[root].same--,tree[root].size--;
		else if(tree[root].r==0)root=tree[root].l;
		else {
			pos=tree[root].r;
			while(tree[pos].l!=0)pos=tree[pos].l;//找到它的后缀
			splay(pos,tree[root].r);//将后缀伸展到它的右子节点
			tree[tree[root].r].l=tree[root].l;//将右子节点的左子节点变为它的左子节点
			root=tree[root].r;//将 root 改为它的右子节点
			up(root);
		}
	}
}

查询排名

将二叉搜索树的改一下就行，注意最后还要伸展一下。

int wrank(int val) {
	int pos=root,rnk=1;
	while(pos) {
		if(tree[pos].dat==val) {
			rnk+=tree[tree[pos].l].size;
			splay(pos,root);
			break;
		}
		if(val<=tree[pos].dat)
			pos=tree[pos].l;
		else {
			rnk+=tree[tree[pos].l].size+tree[pos].same;
			pos=tree[pos].r;
		}
	}
	return rnk;
}

查询数字

同样改一下二叉搜索树的。

int num(int val) {
	int pos=root;
	while(pos) {
		int l=tree[tree[pos].l].size;
		if(l<val&&val<=l+tree[pos].same) {//注意这里判断它是否在区间内
			splay(pos,root);
			break;
		} else if(l>=val)pos=tree[pos].l;
		else {
			val-=l+tree[pos].same;
			pos=tree[pos].r;
		}
	}
	return tree[pos].dat;
}

前缀与后缀

有了查询排名和查询数字，只要充分发扬人类智慧，有它俩来实现这俩即可。自行理解。

int pre(int val) {
	return num(wrank(val)-1);
}
int last(int val) {
	return num(wrank(val+1));
}

后记

笑点解析：模版题P3369中，Treap 和 Splay 的时间均在 475 ms 左右，但普遍认为 Splay 比 Treap 快。