电子科技大学《图论及其应用》复习(史上最全汇总)
一、重要概念
1. 图、简单图、图的同构、度序列与图序列、补图与自补图、两个图的联图、两个图的积图、偶图
- 图:一个图是一个有序对<V, E>,记为G=(V, E),其中: 1) V是一个有限的非空集合,称为顶点集合,其元素称为顶点或点。用|V|表示顶点数;2) E是由V中的点组成的无序对构成的集合,称为边集,其元素称为边,且同一点对在E中可以重复出现多次。用|E|表示边数
注:图G 的顶点集记为V(G),边集记为E(G)。图G 的顶点数(或阶数)和边数可分别用符号n(G)和m(G)表示
- 简单图:无环无重边的图称为简单图。(除此之外全部都是复合图)
注:点集与边集均为有限集合的图称为有限图。只有一个顶点而无边的图称为平凡图。边集为空的图称为空图
- 图的同构:设有两个图G1=(V1, E1)和G2=(V2, E2),若在其顶点集合间存在双射,使得边之间存在如下关系:设u1↔u2, v1↔v2, u1, v1∈V1,u2, v2∈V2;u1v1∈E1当且仅当u2v2∈E2,且u1v1与u2v2 的重数相同。称G1与G2同构,记为G1≌G2
- 图的度序列:一个图G的各个点的度d1, d2,…, dn构成的非负整数组(d1, d2,…, dn)称为G的度序列
注:非负整数组(d1, d2,…., dn)是图的度序列的充分必要条件是:∑di 为偶数。度序列的判定问题为重点!
- 图的图序列:一个非负数组如果是某简单图的度序列,称它为可图序列,简称图序列
- 补图:对于一个简单图G=(V, E),令集合E1={uv|u≠v, u, v∈V},则图H=(V,E1\E)称为G的补图
- 自补图:若简单图G与其补图同构,则称G为自补图
注:自补图的性质
- 联图:设G1,G2是两个不相交的图,作G1+G2,并且将G1中每个顶点和G2中的每个顶点连接,这样得到的新图称为G1与G2的联图。记为G1∨G2
- 积图:设G1=(V1, E1)和G2=(V2, E2)是两个图,对点集V1×V2中的任意两个点u=(u1, u2)与v=(v1, v2),当(u1=v1和u2 adj v2)或(u2=v2和u1 adj v1)时,把u与v相连。如此得到的新图称为G1与G2的积图。记为记为G1×G2
- 偶图:所谓具有二分类(X, Y)的偶图(或二部图)是指一个图,它的点集可以分解为两个非空子集X和Y,使得每条边的一个端点在X中,另一个端点在Y中
注:偶图的判定定理:一个图是偶图当且当它不包含奇圈
2. 树、森林、生成树、最小生成树、根树、完全m元树
- 树:不含圈的图称为无圈图,树是连通的无圈图
注:1、设G是具有n个点m条边的图,则下列命题等价:
(1)G 是树
(2)G 无环且任意两个不同点之间存在唯一的路
(3)G 连通,删去任一边便不连通
(4)G 连通,且 n = m + 1
(5)G 无圈,且 n = m + 1
(6)G 无圈,添加任何一条边可得唯一的圈
2、几个结论
(1)树和森林都是简单图
(2)树和森林都是偶图
(3)每棵非平凡树至少含有两片树叶
(4)树是含有边数最少的连通图,成为最小连通图
(5)树是含有边数最多的无圈图
(6)假定(n,m)图G是由k棵树组成的森林,则m=n-k
(7)若G是树,且最大度大于等于k,则G至少有k片叶子
- 森林:无圈图G为森林
- 最小生成树:图G的一个生成子图T如果是树,称它为G的一棵生成树;若T为森林,称它为G的一个生成森林。 生成树的边称为树枝,G中非生成树的边称为弦
注:最小生成树的求法:Kruskal算法、破圈法、Prim算法
- 根树:一棵非平凡的有向树T,如果恰有一个顶点的入度为0,而其余所有顶点的入度为1,这样的有向树称为根树。其中入度为0的点称为树根,出度为0的点称为树叶,入度为1,出度大于1的点称为内点。又将内点和树根统称为分支点
- m元完全树:对于根树T,若每个分支点至多m个儿子,称该根树为m元根树;若每个分支点恰有m个儿子,称它为完全m元树
3. 途径(闭途径)、迹(闭迹)、路(圈)、最短路、连通图、连通分支、点连通度与边连通度
- 途径(闭途径):给定图G = (V, E),w =v0e1v1e2…ekvk是G中点边交替组成的序列,其中vi∈V,ei∈E,若w满足ei的端点为vi-1与vi,则称w为一条从顶点v0到顶点vk的途径(或通道或通路),简称(v0, vk)途径。顶点v0和vk分别称为w的起点和终点,其他点称为内部点,途径中的边数称为它的长度。起点和终点相同的途径就称为闭途径(环游)
- 迹(闭迹):边不重复的途径称为迹,起点终点相同的迹为闭迹(回路)
- 路(圈):点不重复的迹称为路,起点终点相同的路成为圈
- 最短路:连接u、v的长度最短的路的长度,也称u与v的距离,记作d(u,v)
- 连通图:如果图G中任意两个点都是连通的,则G为连通图
- 连通分支:在非连通图G中,每一个极大的连通部分为G的连通分支,G的连通分支的个数,称为G 的分支数,记为ω(G)。
- 点连通度:对n阶非平凡连通图G,若G存在顶点割,则称G的最小顶点割中的点数为G的连通度;否则称n-1为其连通度。G的连通度符号表示为κ(G),简记为κ;非连通图或平凡图的连通度定义为0。
- 边连通度:设G为连通图,称使G-E ′不连通的G的边子集E ′为G的边割,含有k条边的边割称为k边割。边数最少的边割称为最小边割
注:1、几个结论
(1)若图中两个不同点u与v间存在途径,则u与v间必存在路;若过点u存在闭迹,则过点u必存在圈。
(2)若过点u存在闭途径,则过点u不一定存在圈。
(3)在n(n≥2)阶连通图中,至少有n-1条边;如果边数大于n-1,至少有个圈
(4)若一个图G中的最小度大于等于2,则G中必然有圈
(5)若图G是不连通的,则其补图一定是连通图
(6)设图G为n阶图,若G中任意两个不相邻顶点u与v满足d(u)+d(v)≥n-1,则G是连通图且d(G)≤2
(7)若G是非平凡连通图,则v是G的割点当且仅当{v}是G的1顶点割
(8)完全图没有顶点割,实际上也只有以完全图为生成子图的图没有顶点割
(9)κ(Kn)=n-1;κ(Cn)=2,其中Cn为n圈,n≥3
(10)非平凡连通图均是1连通的;图G是2连通的当且仅当G连通、无割点且至少含有3个点;K2连通、无割点、但连通度为1
(11)非连通图或平凡图的边连通度定义为0
(12)λ(Kn)=n-1;λ(Cn)=2,其中Cn为n圈,n≥2
(13)非平凡连通图均是1边连通的;图G是2边连通的当且仅当G连通、无割边且至少含有两个点
(14)对任意的图G,有κ(G)≤λ(G)≤δ(G)
(15)设G是具有m条边的n阶连通图,则
(16)设G是n阶简单图,若δ(G)大于等于(n/2)向下取整,则G必连通
(17)设G是n阶简单图,对正整数k<n,若,G是k连通的
(18)设G是n阶简单图,若δ(G)≥(n/2)向下取整,则λ(G)=δ(G)
4. 欧拉图、欧拉环游、欧拉迹、哈密尔顿圈、哈密尔顿图、哈密尔顿路、中国邮递员问题、最优H圈
- 欧拉图:对于连通图G,如果G中存在经过每条边的闭迹,则称G为欧拉图,简称G为E图
- 欧拉环游:欧拉闭迹又称为欧拉环游,或欧拉回路
- 欧拉迹:对于连通图G,如果G中存在经过每条边的迹,则称该迹为G的一条欧拉迹
- 哈密尔顿图:如果经过图G的每个顶点恰好一次后能够回到出发点,即存在H圈的图称为哈密尔顿图,简称H图
- 哈密尔顿圈:经过图中每个点仅一次的圈是哈密尔顿圈
- 哈密尔顿路:图G的经过每个顶点的路称为哈密尔顿路
- 中国邮递员问题:图论模型为在一个连通的具有非负权的赋权图G中找一条包含每条边 (允许重复) 且边权之和最小的闭途径,称之为最优环游。
注:
(1) 若图G是一个欧拉图,则找出G的欧拉回路即可。
(2)对一般图,其解法为:添加重复边以使G成为欧拉图G*,并使添加的重复边的边权之和为最小,再求G*的欧拉回路。
- 最优H圈(旅行售货员问题):图论模型:在赋权完全图G中求具有最小权的哈密尔顿圈,这个圈称为最优圈。采用边交换技术求解最优H圈,详情见PPT
5. 匹配、最大匹配、完美匹配、最优匹配、因子分解
- 匹配:如果M是图G的边子集(不含环),且M中的任意两条边没有共同顶点,则称M是G的一个匹配或边独立集
- 最大匹配:如果M是图G的包含边数最多的匹配,称M是G的一个最大匹配
- 完美匹配:若最大匹配饱和了G的所有顶点,称它为G的一个完美匹配
- 最优匹配:设G=(X, Y)是边赋权完全偶图,G中的一个权值最大的完美匹配称为G的最优匹配
- 因子分解:所谓一个图G的因子分解,是指把图G分解为若干个边不重的因子之并。k-因子分解:每个因子均为k-因子的因子分解,此时称G本身是k-可因子化的
注:1、匹配、饱和点与非饱和点:设M是图G的边子集,若任意的e∈M,e 都不是环,且属于M的边互不相邻,则称M为G的一个匹配。设M为 G的一个匹配,对v∈V(G),若v是M中某边的一个端点,则称v为M饱和点,否则称为M非饱和点
2、
3、完美匹配必是最大匹配,而最大匹配不一定是完美匹配;最大匹配必存在,但完美匹配不一定存在;G存在完美匹配的一个必要条件是G的点数必然为偶数
4、交错路与可扩路:设M为图G的一个匹配,G的M交错路是指G中由M中的边与非M中的边交替组成的路。 M可扩路是指其起点与终点均为M非饱和点的M交错路
5、的完美匹配的个数分别为:(2n-1)!!、n!
6、覆盖:图G的一个覆盖是指V(G)的一个子集K,使得G的每条边都至少有一个端点在K中。G中点数最少的覆盖称为G的最小覆盖
7、设K是G的覆盖,M是G的匹配,由于M中的边互不相邻,若要覆盖中M中的边,至少需要|M|个顶点,所以|M| ≤ |K|。特别地,若M*是最大匹配,且是最小覆盖,则
8、设M是匹配,K是覆盖,若|M| = |K|,则M是最大匹配,且K是最小覆盖
9、在偶图中,最大匹配中的边数等于最小覆盖中的点数
10、因子:图G的一个因子是指至少包含G的一条边的生成子图,即非空的生成子图就是一个因子(G的生成子图是指满足V(H) =V(G)的子图H)
11、k-因子指k正则的因子
6.平面图、极大平面图、极大外平面图、平面图的对偶图
- 平面图:如果能把图G画在平面上,使得除顶点外,边与边之间没有交叉,称G可以嵌入平面,或称G是可平面图。可平面图G的边不交叉的一种画法,称为G的一种平面嵌入,G的平面嵌入表示的图称为平面图
- 极大平面图:设G是简单可平面图,如果G是Ki (1≤i≤4),或者在G的任意非邻接顶点间添加一条边后,得到的图均是非可平面图,则称G是极大可平面图。极大可平面图的平面嵌入称为极大平面图
- 极大外平面图:若一个可平面图G存在一种平面嵌入,使得其所有顶点均在某个面的边界上,称该图为外可平面图。外可平面图的一种外平面嵌入,称为外平面图
- 平面图的对偶图:给定平面图G,G的对偶图G*如下构造:1) 在G的每个面fi内取一个点vi*作为G*的一个顶点;2) 对G的一条边e,若e 是面 fi 与 fj 的公共边,则连接vi*与vj*,且连线穿过边e;若e是面fi中的割边,则以vi为顶点作环,且让它与e相交
注:1、设 f 是G的一个面,构成 f 的边界的边数(割边计算2次)称为面 f 的次数,记为deg( f )
2、
3、设G是具有m条边的平面图,则
4、设G是具有n个点,m 条边,φ个面的连通平面图,则有n–m+φ=2
5、设G是具有n个点,m条边,φ个面,k个连通分支的平面图,则
6、设G是具有n个点,m条边,φ个面的连通平面图,如果对G的每个面f,有deg(f )≥ l ≥3,则(注意:G是平面图的必要条件,不是充分条件)
7、设G是具有n个点,m条边的简单平面图且n≥3,则
8、若G是简单平面图,则δ≤5
9、一个连通平面图G是2连通的当且仅当G的每个面的边界是圈
10、一个图可嵌入平面当且仅当它可嵌入球面
11、设G是极大平面图,则G必连通;若G的阶数至少等于3,则G无割边
12、设G是至少有3个顶点的平面图,则G是极大平面图的充分必要条件为G中各面的次数均为3且为简单图(极大平面图的三角形特征,即每个面的边界为三角形)
13、设G是一个有n个点,m条边,φ个面的极大平面图,且n≥3,则(1) m=3n–6(2) φ=2n–4
14、如果在不可平面图G中任意删去一条边所得的图为可平面图,则称G为极小不可平面图。例如K5和K3,3
15、设 G 是一个有 n (n≥3)个点,且所有点均在外部面上的外平面图,则G是极大外平面图当且仅当其外部面的边界是圈,内部面是三角形
16、设G是一个阶数为n (n≥4)且所有点均在外部面上的极大外平面图,则G中存在两个度数均为2且不相邻的点
17、设G是一个有n (n≥3)个点,且所有点均在外部面上的极大外平面图,则G有n–2个内部面
18、设G是一个具有n (n≥4)个点,m条边的简单连通外平面图。若G不含三角形,则m≤(3n–4)/2
19、每个至少有7个顶点的外可平面图的补图不是外可平面图,且7是这个数目的最小者
20、图G是可平面的当且仅当它不含与K5或K3,3同胚的子图
7.边色数、点色数、色多项式
- 边色数:设G是图,对G进行正常边着色需要的最少颜色数,称为G的边色数,记为χ'(G)
- 点色数:对图G正常顶点着色需要的最少颜色数,称为图G的点色数,用χ(G)表示
- 色多项式:对图进行正常顶点着色,其方式数Pk(G)是k的多项式,称为图G的色多项式
注:
1、边着色/k边可着色:设G是图,对G的边进行着色,若相邻边着不同颜色,则称对G进行正常边着色; 如果能用k种颜色对图G 进行正常边着色,称G是k边可着色的
2、在任何正常边着色中,与任一顶点关联的各边必须着不同色,由此推知:对无环图
3、Km,n的一个正常边着色为 χ′(Km, n)=Δ
4、设G是非空的简单图。若G中恰有一个度为Δ(G)的点,或G中恰有两个度为Δ(G)的点并且这两个点相邻,则χ′(G)=Δ(G)
5、设图G=(V, E)是n阶简单图,若n=2k+1且边数m>kΔ,则χ′=Δ+1
6、设G是奇阶Δ正则简单图。若Δ>0,则 χ′=Δ+1
7、对任意的无环图G,均有χ ≤Δ+1
8、设G是简单连通图。假定G既不是完全图又不是奇圈,则χ ≤ Δ
9、设G是非空简单图,若G中度数最大的点互不相邻,则
10、对任意的简单平面图,均有χ≤5
11、若k<χ(G),则Pk(G)=0; χ(G)=min{k | Pk(G)≥1}
12、若G为n阶空图,则Pk(G)=k^n
13、
14、若图G含有n个孤立点,则Pk(G)=k^n*Pk(G′),其中G′是 G去掉n个孤立点后所得的图
15、若图G有环或有重边,则去掉环并将重边用单边代替之 后所得图的k着色数目与原图一样
16、设e=uv是图G的一条边,并且d(u)=1,则 Pk(G)=(k-1)Pk(G-u)
17、对n阶简单图G,Pk (G)是k的整系数n次多项式,首项为k^n,常数项为零,并且各项系数的符号正负相间
8.强连通图、单向连通图、弱连通图
- 强连通图:若D的中任意两点是双向连通的,称D是强连通图
- 单向连通图:若D中任意两点是单向连通的,称D是单向连通图
- 弱连通图:若D的基础图是连通的,称D是弱连通图
注:1、有向图D=(V, E)是强连通的当且仅当D中存在含有所有顶点的有向闭途径
2、设D'是有向图D=(V, E)的一个子图。如果D'是强连通的(单向连通的、弱连通的),且D中不存在真包含D'的子图是强连通的(单向连通的、弱连通的),则称D'是D的一个强连通分支(单向连通分支、弱连通分支)
3、有向图D=(V, E)的每个点位于且仅位于D的一个强(弱)连通分支中
4、若G是2边连通的,则G存在强连通定向图
5、若有向图D的基础图是树,则称D为有向树
6、恰有一个顶点的入度为0,其余顶点的入度均为1的非平凡有向树称为根树。根树中入度为0的顶点称为树根,出度为0的顶点称为树叶,其余点称为内点,内点和根统称为分支点。
7、根树T中,若每个分支点至多有m个儿子,则称T为m元树;若每个分支点恰有m个儿子,则称T为m元完全树
8、设m元完全树T的树叶数为t,分支点数为i,则(m-1)i=t-1
二、重要结论
1、握手定理及其推论
定理1 图G中所有顶点的度数和等于边数的2倍。
推论1 在任何图中,奇点个数为偶数。
推论2 正则图的阶数和度数不同时为奇数。
2、Turan定理
定理2 若n阶简单图G不包含,则G度弱于某个完全l 部图 H,且若G具有与H相同的度序列,则G≌H
3、树的性质
定理3 设T是(n, m)树,则m=n-1
4、最小生成树算法
Kruskal算法,Prim算法,破圈法。
5、偶图判定定理
定理4 图G是偶图当且仅当G中没有奇圈
6、Menger定理
定理5 (1) 设x与y是图G中的两个不相邻点,则G中分离点x与y的最小点数等于独立的(x, y)路的最大数目;(2) 设x与y是图G中的两个不相邻点,则G中分离点x与y的最小边数等于G中边不重的(x, y)路的最大数目。
7、欧拉图、欧拉迹的判定
定理6 下列命题对于非平凡连通图G是等价的:
(1) G是欧拉图;
(2) G的顶点度数为偶数;
(3) G的边集合能划分为圈。
推论 连通非欧拉图G存在欧拉迹当且仅当G中只有两个顶点度数为奇数。
8、H图的判定
定理7 (必要条件) 若G为H图,则对V(G)的任一非空顶点子集S,成立:ω(G-S) ≤|S|。
定理8 (充分条件) 对于n≥3的简单图G,如果δ(G) ≥n/2,则G是H图。
定理9 (充分条件) 对于n≥3的简单图G,如果G中的任意两个不相邻顶点u与v,有d(u)+d(v) ≥n,则G是H图。
定理10 (闭包定理) 图G是H图当且仅当它的闭包是H图。
定理11 (度序列判定法) 设简单图G的度序列是(d1, d2,…,dn),其中d1≤d2≤…≤dn,并且n≥3。若对任意的m<n/2,或者,或者
,则G是H图。
定理12 设G是n阶简单图。若n≥3且则G是H图;并且具有n个顶点
条边的非H图只有C1,n以及C2,5
9、偶图匹配与因子分解
定理13 设G=(X, Y)是偶图,则G存在饱和X的每个顶点的匹配的充要条件是:
推论 若G是k (k>0)正则偶图,则G存在完美匹配。
定理14 在偶图中,最大匹配的边数等于最小覆盖的顶点数。
定理15 K2n可一因子分解。
定理16 具有H圈的三正则图可一因子分解。
定理17 K2n+1可2因子分解。
定理18 K2n可分解为一个1因子和n-1个2因子之和。
定理19 每个没有割边的3正则图是一个1因子和1个2因子之和。
10、平面图及其对偶图
1)平面图的次数公式
定理20 设G是平面图,则次数之和等于2倍的边数。
2)平面图的欧拉公式
定理21 (欧拉公式) 设G=(n, m)是连通平面图, φ是G的面数,则n-m+φ=2。
3)几个重要推论
推论1 设G是具有n个点m条边φ个面的连通平面图,如果对G的每个面f,有deg (f )≥l ≥3,则:
推论2 设G=(n,m)是简单平面图,则m≤3n-6。
推论3 设G是简单平面图,则δ(G)≤5。
4)对偶图的性质
定理22 平面图G的对偶图必然连通。
5)极大平面图的性质
定理23 设G是至少有3个顶点的平面图,则G是极大平面图,当且仅当G的每个面的次数是3且为简单图。
11、着色问题
1)边着色
定理24 完全二部图的边色数等于顶点度数的最大值。
定理25 二部图的边色数等于顶点度数的最大值。
定理26 若G是简单图,则边色数要么为最大度,要么等于最大度+1。
定理27 设G是简单图且Δ(G)>0。若G中只有一个最大度点或恰有两个相邻的最大度点,则边色数等于最大度。
定理28 设G是简单图。若点数n=2k+1且边数m>kΔ,则边色数等于最大度+1。
定理29 设G是奇数阶Δ正则简单图,若Δ>0,则边色数等于最大度+1。
2)点着色
定理31 若G是连通的简单图,并且它既不是奇圈,又不是完全图,则。
3)色多项式
a)递推计数法
b)、理想子图计数方法
12根树问题
定理32 在完全m元树T中,若树叶数为t,分支点数为i,则(m-1)i = t-1。
Note:以上为暂时的全部总结,在近些天复习的过程中发现漏洞会及时填补。
补充内容
1、关于正则与完全图的一些理解:k正则图,指的是每个点都有k度,n阶k正则图就是n个顶点的度数都为k,而完全图是最大的正则,因此完全图中每个顶点的度数为n-1,为n-1正则图。
2、邻接矩阵的概念
定义 设n阶标定图G = (V, E),V = {v1, v2,…, vn},则G的邻接矩阵是一个n×n 矩阵A(G) = [ aij ] (简记为A),其中若 vi邻接vj,则aij =1;否则aij =0
若aij 取为连接vi与vj 的边的数目,则称A为推广的邻接矩阵。
性质:邻接矩阵是一个对称方阵;简单标定图的邻接矩阵的各行 (列) 元素之和是该行 (列) 对应的点的度
定理 令G是一个有推广邻接矩阵A的 p阶标定图,则An的i 行 j 列元素aij(n)等于由vi到vj的长度为n的通道的数目
推论 设A为简单图G的邻接矩阵,则(1) 的元素
是 vi 的度数。A3 的元素
是含 vi 的三角形的数目的两倍 (2) 若G是连通的,对于i≠j,vi 与vj 之间的距离是使An 的aij(n) ≠0 的最小整数n
3、l部图概念及特征
定义 若简单图G的点集V有一个划分:且所有的Vi 非空,Vi 内的点均不邻接,称G是一个 l 部图。
定义 如果在一个l 部图G中, |Vi|=ni, 任何两点u∈Vi , v∈Vj , i ≠ j , i, j =1, 2,…, l 均邻接,则称G为完全l 部图。记作
4、生成树:若图G的生成子图T是树,则称T为G的生成树;若T为森林,称它是G的生成森林。生成树的边称为树枝,G中非生成树的边称为弦。
定理 每个连通图至少包含一棵生成树
计数:用τ(G) 表示G的生成树的个数,
一个定理:
5、单调不增正整数序列(d1, d2,…, dn)是一棵非平凡树的度序列当且仅当∑ di=2(n-1)
6、
7、简单图一定存在度数相同的顶点
8、k正则二部图(k正则偶图)G的相关结论:
(1)若k≥2,则G无割边
(2)存在完美匹配
(3)可1-因子化
9、彼得森图:,其相关结论有:
- 点连通度为3,边连通度为3
- 是一个3正则图
- 点色数为3,边色数为4
- 半径与直径均为2
- 不是H图(删去任意顶点后为H图)
- 是不可平面图
- 存在完美匹配
- 虽然该图无割边,但也不可1-因子分解(3正则图有割边,不能1-因子分解)
- 是一个1-因子和一个2-因子的并
10、欧拉图相关等价命题:
- 每个点的度为偶数
- 是连通图
- 边集可以划分为边不重的圈的并
11、欧拉迹相关结论:
- 连通图存在欧拉迹当且仅当G最多有两个奇度顶点
- 有向图中存在欧拉迹,当且仅当D连通且除了两个点外,每个点出度与入度相等。而这两个点中,一个点入度比出度大1,另一个点出度比入度大1
12、完全偶图:是指具有二分类(X, Y )的简单偶图,其中X的每个顶点与Y 的每个顶点相连,若 |X|=m,|Y|=n,则这样的偶图记为
13、相关结论(从平时作业中的选择题提炼出来):
- 有割边的图不一定有割点,比如K2
- 有割点的图不一定有割边,比如8字形的图
- 割点至少属于图的两个块
- 割边不在图的任意一个圈之中
- 阶数至少是3的连通图中,图的割点也是子图的割点
- G为n阶简单图,若δ(G) ≥n/2,则G连通且λ(G)=δ(G)
- 非平凡树不一定存在割点,但一定存在割边,比如K2
- 完全图不一定没有割边,比如K2
- 2连通图一定没有割边
- 若图G是块,则块中不一定有圈,比如K2;块中不一定无环,比如自环
- 非平凡树T,最多包含一个完美匹配
- 非平凡树T是只有一个面(外平面)的平面图
- 非平凡树T的对偶图不一定是简单图,比如K2的对偶图为自环,自环不是简单图
- 无割边的三正则图一定存在完美匹配,有割边的三正则图不一定有完美匹配
- 有完美匹配的三正则图不一定没有割边
- 三正则哈密尔顿图存在完美匹配,可1-因子分解
- 任意非平凡正则偶图包含完美匹配且能够1-因子分解
- 只有一个面的连通平面图一定是树
- 存在一种方法,总可以把平面图中任意一个内部面转为外部面
- 无环图是2连通的平面图,一定不包含割点,同时不包含割边,一定不包含只属于一个面的边,边界均为圈
- 若(n,m)图是极大外平面图且n大于等于3,则m=2n-3
- 阶数至少为3的极大外平面图一定是H图
14、块的定义:没有割点的连通图称为块图,简称块。若图G的子图B是块,且G中没有真包含B的子图也是块,则称B是G的块
相关性质:
- 仅有一条边的块,要么是割边,要么是环
- 仅有一个点的块,不是孤立点就是自环
- 至少两个点的块无环
- 阶数至少为3的块无割边
- 阶数至少为3的块中的任意两点都位于同一个圈上
- 阶数至少为3的块中的任意两条边都在同一个圈上
15、欧拉图的相关结论:
- 一定是连通图
- 欧拉图不一定没有割点,比如8字形的图
- 欧拉图一定没有割边
- 非平凡的欧拉图中一定有圈
- 至少具有两个点的无环欧拉图一定是2边连通的
16、闭图:在n阶简单图G中,若对d(u)+d(v)≥n的任何一对点u和v都是相邻的,则称G是闭图
17、闭包:若一个与G 有相同点集的闭图 Ĝ,使GĜ,且对异于Ĝ的任何图H,若有G
H
Ĝ,则H不是闭图,则称Ĝ是G的闭包
18、H图相关结论:(举反例想到长度为5的圈)
- 一定没有割边
- 不一定没有割点,比如H图+自环(也是H图,而自环让该点成为了割点)
- 一个简单图是H图当且仅当它的闭包是H图
-
G是n≥3的简单图,若G的闭包是完全图,则G是H图
-
若G是阶数至少为3的简单图,其中任何两个不邻接的点u和v均有d(u)+d(v)≥n,则 G是H图
- 若G是阶数至少为3的简单图,若G中每个点的度d(v)≥n/2,则G是H图
- 图G的闭包是Kn,则G是H图
- G为阶数至少为3的非H的简单图,G度弱于某个Cm,n图(度极大的H图)
- H图不一定是完全图,比如长度为5的圈
- G为阶数至少为3的H简单图,若n为奇数,则G一定不是偶图
19、G为n阶简单图,若任意两个顶点存在d(u)+d(v)大于等于n-1,则该图G存在H路
20、n方体:超立方体Qn简称为n方体,。其构造方式为:n方体有2^n个顶点,每个顶点可以用长度为n的二进制码来表示,两个顶点连线当且仅当代表两个顶点的二进制码只有一位坐标不同
其相关结论有:
-
- 每个n方体都有完美匹配(n大于等于1)
21、因子分解相关结论
- 若G有一个1-因子(其边集为完美匹配),则显然G的阶数是偶数。所以,奇数阶图不能有1-因子。
- 完全图
是可以1-因子化
- k正则偶图(k>0)是1-可因子化
- 具有Hamilton圈的3正则图是1-可因子化的(注意:1-可因子分解的3正则图不一定有Hamilton圈)
- 若3正则图有割边,则不可1-因子分解(注意:无割边的3正则图可能也没有1-因子分解,比如彼得森图)
- K4有唯一的1-因子分解
- 一个图2-可因子化,则每个2-因子是边不重圈的并
-
2-可因子化的图的所有点的度一定是偶数,所以完全图
不是2-可因子化的
- 若一个2-因子是连通的,则它是一个H圈
- 图
是n个H圈的并
- 完全图
是一个1-因子和n-1个H圈的并
- 每一个没有割边的3正则图是一个1-因子和一个2-因子的并
- 若没有割边的3正则图中的2-因子是一些偶圈,则该图也是1-可因子化的
- 一个连通图是2-可因子化的当且仅当它是偶数度正则图
的不同1-因子数目为(2n-1)!!
22、存在且只存在5种正多面体:正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体和正二十面体
23、一个有n个顶点,m条棱和φ个面的凸多面体的棱数与面数满足:n–m+φ=2。设每个面的次数为l,每个点的度数为r,则
24、对偶图相关结论:
- 平面图G的对偶图G*也是平面图,且G*的点数 = G的面数;G*的边数 = G的边数;G*的面数 = G的点数 (G连通);d(vi*) = deg ( fi )
- 设G*是平面图G的对偶图,则G*必连通
- 假定G是平面图,则(G*)* = G当且仅当G是连通图
- 若G1≌G2,在一般条件下,只存在非同构的对偶图G1*与G2*
25、2度顶点的扩充与收缩:在图G的边上插入一个新的2度顶点,使一条边分成两条边,则称将图G在2度顶点内扩充;去掉图G的一个2度顶点,使这个2度顶点关联的两条边合成一条边,则称将G在2度顶点内收缩
同胚:两个图G1和G2,如果G1≌G2,或者通过反复在2度顶点内扩充和收缩它们能变成同构的,则称G1和G2是同胚的或G1和G2在2度顶点内是同构的
26、初等收缩/收缩边uv运算:设uv是简单图G的一条边。去掉该边,重合其端点,再删去由此产生的环和重边。这一过程称为图G的初等收缩或收缩边uv运算,并记所得之图为G/uv。一个图G可收缩到H,是指H可从G通过一系列初等收缩而得到
27、基础简单图:给定图G,去掉G中的环(若有的话),将G中的重边(若有的话)用单边代替,称这样所得的图为G的基础简单图
与可平面性的关系:(1)图G是可平面图当且仅当其基础简单图是可平面图(2)图G是可平面图当且仅当它的每个块是可平面图
28、瓦格纳定理(平面图的判定定理):简单图G是可平面图当且仅当它不含可收缩到K5或K3,3的子图(还是必要条件,不是充要条件)
29、临界图:若对图G的任意真子图H都有χ(H)< χ(G),则称G是临界图;色数为k的临界图称为k临界图
相关性质:k色图均有k临界子图;每个临界图均为简单连通图;若G是k临界图,则δ≥k-1;临界图没有割点
30、每个k色图至少有k个度不小于k-1的顶点
31、唯一可着色图:设简单标号图G的色数是k,如果在任意的k正常点着色方案下,导出的顶点集合划分唯一,称G是唯一k可着色图,简称唯一可着色图
相关结论:
- δ≥k-1;
- 在G的任意一种k着色中,G的任意两个色组的并导出的子图是连通的;
- 每个唯一k (k≥2)可着色图是(k-1)连通的;
- 设G是唯一n(n≥2)可着色图,π是任意一种n着色方案,则由π的任意k个色组导出的子图是(k-1)连通的
- 唯一1可着色图是空图
- 唯一2可着色图是连通的偶图
- 每个唯一4可着色可平面图都是极大可平面图
32、团:图G的一个团是指G的顶点子集S,使得导出子图G[S]是完全图。G的k团是指G的含k个点的团;G的最大团的点数称为G的团数记为cl(G),即cl(G)=max{|S| | S是G的团}。图G的色数与团数的关系为
33、完美图:设G是一个图,若对G的每个点导出子图H,均有 χ(H)=cl(H),则称G为完美图。图G是完美图当且仅当G的补图是完美图
相关结论:
- 完全图、偶图均为完美图,而不含三角形但含奇圈的图不是完美图
- 偶图的补图是完美图
- 长度至少为5的奇圈及其补图均不是完美图
34、理想子图:设H是图G的生成子图。若H的每个分支均为完全图,则称H是G的一个理想子图。用Nr (G)表示G的具有r个分支的理想子图的个数。设G是具有n个点m条边的图,则有(1) Nn(G)=1;
(2) Nn-1(G)=m;(3) 若k<ω(G),则Nk(G)=0
35、独立数:一个图的点独立集,简称独立集,是指图中一些互不相邻的点构成的点子集。图G中含点数最多的独立集称为G的最大独立集;最大独立集所含的顶点数称为G的点独立数,简称独立数,记为α(G),简记为α
36、图G的最大独立集中包含的顶点个数与G的最小覆盖中包含的顶点个数之和等于G的阶数
37、覆盖数:G的一个包含顶点数最少的覆盖称为G的最小覆盖。G的最小覆盖包含的顶点数,称为G的点覆盖数,简称覆盖数,记为β(G)
38、拉姆齐数:设m和n是两个正整数,令R(m, n)是最小的正整数l使得任意的l阶图要么包含m个顶点的团,要么包含n个顶点的独立集。R(m, n)称为(m, n)Ramsey数。R(2, n)=n,R(3, 3)=6,
R(m, n)=R(n, m),R(1, n)=R(n, 1)=1
39、高为h的完全二元树至少有h+1片树叶
40、最优树:设T是一棵有t片树叶的二元树,若对T的所有t片树叶赋以权值(实数) w1, w2,…, wt,则称T为带权二元树;若带有权wi的树叶的层数为l(wi),则称为T的权,给定实数w1, w2,…, wt,在所有树叶带有权w1, w2,…, wt 的二元树中,W(T)最小的二元树称为最优树。
41、频序列:设n阶图G 的各点的度取s个不同的非负整数d1, d2,…, ds。又设度为di的点有bi个(∑bi=n),则称 (b1, b2,…, bs) 为G的频序列
相关结论:
- 一个n阶图G 和它的补图有相同的频序列
- 一个简单图G 的n个点的度不能互不相同
42、完全图Kn相关结论
- 点色数为n
- 边色数为:n(n为奇数时);n-1(n为偶数时)
- 点连通度为n-1
- 边连通度为n-1
- 是临界图
- 是唯一可着色图
43、关联矩阵:无环图G的关联矩阵B(G) = [bij] (简记为B)是一个n×m 矩阵,当点vi 与边ej 关联时 bij =1,否则 bij =0。其性质为:关联矩阵的每列和为2;其行和为对应顶点的度数。
44、有向图的邻接矩阵、关联矩阵:设D=(V, E)是一个标定有向图,其中设V={v1, v2,…, vn},E={e1, e2,…, em}:
(1) 称矩阵A(D)=(ai j)n×n为D的邻接矩阵,其中ai j是以vi作为始点,vj作为终点的边的数目,1≤ i ≤n, 1≤ j ≤n
(2) 若D无环,称矩阵M(D)=(mi j)n×m为D的关联矩阵,其中。由定义可知,邻接矩阵A(D)的所有元素之和等于边数。关联矩阵中列和等于0;一行中1的和等于出度之和,-1的和等于入度之和;其全部元素之和等于0。
45、有向图相关结论
- 有向图D的任意一个顶点只能处于D的某一个强连通分支中
- 有向图D中,顶点v可能处于D的不同的单向连通分支中
- 有向连通图中顶点间的关系是等价关系
- 强连通图的所有顶点必然处于某一有向闭途径之中
46、假定G*是在图G中添加一些重复边得到的欧拉图,则G*具有最小权值的充要条件是(1)G的每一条边最多被添加一次(2)对于G*的每个圈来说,新添加的边的总权值不超过该圈总权值的一半
47、5阶度极大非哈密尔顿图族有
48、设树T 中度数为i 的顶点的个数为ni (1≤ i ≤k) ,则
49、图兰定理: 若G是n阶简单图,并且不包含Kl+1,则边数 m(G) ≤ m(Tl, n)。 此外,仅当G ≌ Tl, n时,m(G) = m(Tl, n)。
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