《算法导论》之 Problem 5.1-2(随机函数发生器的设计)
问题叙述:
*5.1-2 描述RANDOM( a, b )过程的一种实现,它只调用RANDOM( 0, 1 )。作为a和b的函数,你的程序的期望运行时间是多少?
注:RANDOM( a, b )为产生a, a + 1, a + 2, ... , b的函数发生器,且产生各整数的概率相等,同为 1/( b - a + 1 )。例如,RANDOM( 0, 1 )以0.5的概率产生0,1 。
算法分析:
RANDOM( 0, 1 )产生的结果只有两种可能,即0和1;而RANDOM( a, b )却有b-a+1种可能,二者之间怎么映射成了本问题的关键!
二分思想:
利用RANDOM( 0, 1 )产生一个数,若为0,则在[ a, a + ( b - a )/2 ]上再进行RANDOM( 0, 1 );否则若为1,则在[ a + ( b - a )/2 + 1, b ]上进行RANDOM( 0, 1 ),直到区间只含一个整数。但是,基于产生的是整数,会出现许多问题。(这里不描述了)
换个角度,本问题和信息论中的编码是同理的:RANDOM( a, b )需要表示 b - a + 1中可能,最少需要 log( b - a + 1 )向上取整位!
例如,RANDOM( 3, 8 ),可这样编码:
3 —— 000
4 —— 001
5 —— 010
6 —— 011
7 —— 100
8 —— 101
由于每次RANDOM( 0, 1 )互相独立,可以进行3次RANDOM( 0, 1 ),然后对应编码。但是,这编码是有冗余的,110和111没有对应的整数!当出现未编码组合时,重新RANDOM。这样就保证了各编码等概。
由于冗余的存在,运行时间下限是ο( log( b - a + 1 ) ),上限是无穷,期望得通过概率和极限求解。