《算法导论》之 Problem 5.1-2（随机函数发生器的设计）

 

 

问题叙述：

*5.1-2　描述RANDOM( a, b )过程的一种实现，它只调用RANDOM( 0， 1 )。作为a和b的函数，你的程序的期望运行时间是多少？

 

　　注：RANDOM( a, b )为产生a, a + 1, a + 2, ... , b的函数发生器，且产生各整数的概率相等，同为 1/( b - a + 1 )。例如，RANDOM( 0, 1 )以0.5的概率产生0,1 。

 

算法分析：

　　　　RANDOM( 0, 1 )产生的结果只有两种可能，即0和1；而RANDOM( a, b )却有b-a+1种可能，二者之间怎么映射成了本问题的关键！

　　　　二分思想：

　　　　　　利用RANDOM( 0, 1 )产生一个数，若为0，则在[ a, a + ( b - a )/2 ]上再进行RANDOM( 0, 1 )；否则若为1，则在[ a + ( b - a )/2 + 1, b ]上进行RANDOM( 0, 1 )，直到区间只含一个整数。但是，基于产生的是整数，会出现许多问题。（这里不描述了）

　　　　换个角度，本问题和信息论中的编码是同理的：RANDOM( a, b )需要表示 b - a + 1中可能，最少需要 log( b - a + 1 )向上取整位！

　　　　例如，RANDOM( 3, 8 )，可这样编码：

　　　　　　3　　——　　000

　　　　　　4　　——　　001

　　　　　　5　　——　　010

　　　　　　6　　——　　011

　　　　　　7　　——　　100

　　　　　　8　　——　　101

　　　　由于每次RANDOM( 0, 1 )互相独立，可以进行3次RANDOM( 0, 1 )，然后对应编码。但是，这编码是有冗余的，110和111没有对应的整数！当出现未编码组合时，重新RANDOM。这样就保证了各编码等概。

　　　　由于冗余的存在，运行时间下限是ο( log( b - a + 1 ) )，上限是无穷，期望得通过概率和极限求解。