【[HNOI2008]Cards】群论，polya定理

感觉可能第一次认识到了polya定理而不只是背结论 BZOJ1004 Time Limit: 10 Sec Memory Limit: 162 MB Submit: 4533 Solved: 2779 [Submit][Status][Discuss] Description 　　小春现在很清闲,面对书桌上的N张牌,他决定给每张染色,目前小春只有3种颜色:红色,蓝色,绿色.他询问Sun有 多少种染色方案,Sun很快就给出了答案.进一步,小春要求染出Sr张红色,Sb张蓝色,Sg张绝色.他又询问有多少种方 案,Sun想了一下,又给出了正确答案. 最后小春发明了M种不同的洗牌法,这里他又问Sun有多少种不同的染色方案. 两种染色方法相同当且仅当其中一种可以通过任意的洗牌法(即可以使用多种洗牌法,而每种方法可以使用多次)洗 成另一种.Sun发现这个问题有点难度,决定交给你,答案可能很大,只要求出答案除以P的余数(P为质数). Input 　　第一行输入 5 个整数：Sr,Sb,Sg,m,p(m<=60,m+1<p<100)。n=Sr+Sb+Sg。 接下来 m 行，每行描述一种洗牌法，每行有 n 个用空格隔开的整数 X1X2...Xn，恰为 1 到 n 的一个排列， 表示使用这种洗牌法，第 i位变为原来的 Xi位的牌。输入数据保证任意多次洗牌都可用这 m种洗牌法中的一种代 替，且对每种洗牌法，都存在一种洗牌法使得能回到原状态。 Output 　　不同染法除以P的余数 Sample Input 1 1 1 2 7 2 3 1 3 1 2 Sample Output 2 HINT 　　有2 种本质上不同的染色法RGB 和RBG，使用洗牌法231 一次可得GBR 和BGR，使用洗牌法312 一次 可得BRG 和GRB。 100%数据满足 Max{Sr,Sb,Sg}<=20。 有 $L=\frac{\left(\sum_{i=1}^k {m^{l\left(a_i\right)}}\right)}{|G|} $ $ \frac$ |G|表示置换个数，l(ai)表示对于置换i,他的循环个数（将置换表示成若干个循环的形式） 发现不能直接上polya定理，会发现颜色上色是有限制的。我们再仔细看一下polya定理，会发现对于置换群中每个置换，其实可以想到就是等价于对于每个循环进行染一种颜色的方案数。那么我们可以把每个循环看做一个物品，循环长度作为大小，搞一个以颜色为容积的背包来计算对于某个置换的染色方案数。 code:

#include<stdio.h>
#include<algorithm>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<cstring>
using namespace std;
int mod;
int add(int x,int y) {x+=y; return x>=mod?x-mod:x;}
int sub(int x,int y) {x-=y; return x<0?x+mod:x;}
int mul(int x,int y) {return 1ll*x*y%mod;}
int ksm(int a,int b){
    int ans = 1;
    for(;b;b>>=1,a=mul(a,a))
        if(b&1) ans = mul(ans,a);
    return ans;
}
int f[65][65][65];
int m,n;
int ans = 0;
int sr,sb,sg;
bool vis[65];
int nt[65],sz[65];
void solve() {
    int tot = 0; memset(f,0,sizeof f); memset(vis,0,sizeof vis);
    for(int i=1;i<=n;i++) {
        if(!vis[i]) {
            ++tot; sz[tot] = 1; vis[i] = 1;
            for(int p=nt[i];p!=i;p=nt[p]) {
                vis[p] = 1; sz[tot]++;
            }
        }
    }
    f[0][0][0] = 1;
    for(int o=1;o<=tot;o++) {
        for(int r=sr;r>=0;r--) {
            for(int b=sb;b>=0;b--) {
                for(int g=sg;g>=0;g--) {
                    if(r>=sz[o]) f[r][b][g] = add(f[r][b][g],f[r-sz[o]][b][g]); 
                    if(b>=sz[o]) f[r][b][g] = add(f[r][b][g],f[r][b-sz[o]][g]);
                    if(g>=sz[o]) f[r][b][g] = add(f[r][b][g],f[r][b][g-sz[o]]);
                }
            }
        }
    }
    ans = add(ans,f[sr][sb][sg]);
}
int main() {
    scanf("%d%d%d%d%d",&sr,&sb,&sg,&m,&mod);
    n = sr+sb+sg;
    for(int i=1;i<=n;i++)nt[i] = i; solve();
    for(int i=1;i<=m;i++) {
        for(int j=1;j<=n;j++) {
            scanf("%d",&nt[j]);
        }
        solve();
    }
    ans = mul(ans,ksm(m+1,mod-2));
    printf("%d",ans);
}