数论之欧拉定理
本文介绍[初等]数论、群的基本概念，并引入几条重要定理，最后籍着这些知识简单明了地论证了欧拉函数和欧拉定理。
数论是纯粹数学的分支之一，主要研究整数的性质。
算术基本定理（用反证法易得）：又称唯一分解定理，表述为 任何大于１的自然数，都可以唯一分解成有限个质数的乘积，公式：\(n=p_1^{a_1}p_2^{a_2}\cdots p_k^{a_k}=\prod\limits_{i=1}^kp_i^{a_i}\)，这里\(p_i\)均为质数，其指数\(a_i\)是正整数。算术基本定理是初等数论中一条非常基本和重要的定理，它把对自然数的研究转化为对其最基本的元素——素数的研究。
群
集合封闭性：集合中的任意个数元素经过运算所得结果仍是该集合的元素，则称该集合在此运算法则下是封闭的。
单位元：单位元\(e\)与任意元素\(a\)运算所得结果仍为\(a\)。
逆元：若\(a*b=b*a=e\)（\(*\)表示该群的二元运算符），则称\(a\)与\(b\)互为逆元。
群：群是指由一个集合\(G\)和一个二元运算符构成的代数系，对于该二元运算符是封闭的、可结合的，拥有单位元，并且每个元素都有对应的逆元（逆元也是集合中的元素）。例如：整数集\(\mathbb{Z}\)就是一个具有加法运算(表示为\(+\))的群，其中0为单位元，任意元素\(a\)都有逆元\(-a\)。
思考：整数集在乘法运算下是否为群？
有限群是元素数目有限的群。对于有限群\(G\)的任意元素\(a\)，定义\(a^{i+1}=a * a^{i}\)，则可得到一系列元素\(a,a^2,a^3,\cdots\)（可称为\(a\)的轨道），最后该系列元素必然会重复，因为有限群的元素是有限的。\(a\)第一次重复出现前的元素必为单位元\(e\)，\(a\)的轨道的元素个数称为元素\(a\)的阶，设为\(k\)，即有\(a^k=e\)。有限群\(G\)中任意元素的轨道都是\(G\)的一个[循环]子群。
拉格朗日 (Lagrange)定理：有限群中任意元素的阶必定整除该有限群的阶。（按某种方法将群中所有元素构造成一个二维数组可得）
等价类：又称同余类，即除以\(n\)得到相同余数\(r\)的整数组成的子集，表示为\(\langle r\rangle_{n}\)。\(r\)可取值为0到\(n-1\)，都能得到相应的等价类，我们取每个等价类中的最小非负整数得到的集合表示为\(Z_{n}\)。显然\(Z_{n}=\{0, \cdots, n-1\}\)，这是\(n\)的所有等价类的规范化表示，又称为\(n\)的最小[完全]余数系。
显然，\(Z_{n}\)在加法运算下为一个有限群，而在乘法运算下则不是（元素未必有逆元）。我们将\(Z_{n}\)中在乘法运算下有逆元的元素的集合表示为\(Z_{n}^{*}\)，这些元素的一个特性是和\(n\)没有公因子，如\(Z_{10}^{*}=\{1,3,7,9\} \text { 和 } Z_{12}^{*}=\{1,5,7,11\}\)。\(Z_{n}^{*}\)是乘法运算下的一个群。
欧拉定理
理解欧拉定理总是要先介绍欧拉函数。欧拉函数用于计算小于等于\(n\)且与\(n\)互素的正整数的个数，用\(\varphi(n)\)表示。显然，小于等于\(n\)且与\(n\)互素的正整数的集合即\(Z_{n}^{*}\)。可知\(\varphi(n)=\# Z_{n}^{*}\)，其中\(\# S\)表示集合\(S\)的基数（元素个数）。若\(n\)是素数，那么\(Z_{n}=Z_{n}^{*}\)，\(\# Z_{n}^{*}=n-1\)。
定理1.1：对于素数\(p \text { 和 } q, \varphi(pq)=\varphi(p)\varphi(q)=(p-1)(q-1), \text { 且 } \varphi(p^k)=p^{k-1}(p-1)\)。（其实前者只要\(p, q\)互素即可满足，可通过构造一个\(p\times q\)二维数组得到，亦或根据中国剩余定理可推得）
证明欧拉函数通用形式：\(\varphi(x)=x\prod\limits_{i=1}^r(1-\frac{1}{p_i})\)，其中\(x>1, p_1, \cdots, p_r\text { 为 } x\)的所有质因数。
根据算术基本定理，可写\(x=\prod\limits_{i=1}^{r}P_i^{k_i}\)，同时易证若干素数的幂方乘积与另外若干不同素数的幂方乘积互素，即 \((\prod\limits_{i=1}^ap_i^{j_i},\prod\limits_{i=1}^bq_i^{k_i})=1\)，于是：
依据定理1.1，\(\varphi(x)=\varphi\left(p_{1}^{k_{1}}\right) \varphi\left(p_{2}^{k_{2}}\right) \cdots \varphi\left(p_{r}^{k_{r}}\right)=p_1^{k_1-1}(p_1-1)p_2^{k_2-1}(p_2-1)\cdots p_r^{k_r-1}(p_r-1)\),
即证：\(\varphi(x)=\prod\limits_{i=1}^rp_i^{k_i-1}(p_i-1)=x\prod\limits_{i=1}^r(1-\frac{1}{p_i})\)
注意：每种质因数只计数一个。 比如12=2*2*3那么根据欧拉函数φ（12）=12*（1-1/2）*(1-1/3)=4。
欧拉定理（Euler's theorem）：若\(a\)是\(Z_{n}^{*}\)的一个元素，则有\(a^{\varphi(n)}=1(\bmod n)\)。
根据欧拉函数的定义，\(\#Z_n^*=\varphi(n)\)。设\(k\)为元素\(a\)的阶，根据拉格朗日定理，\(\varphi(n)\)可被\(k\)整除，即有整数\(r\)，使得\(\varphi(n)=rk\)。
又由本文前述可知，元素的阶次幂等于单位元，即\(a^k=1(\bmod n)\)，于是：
\(a^{kr}=a^{\varphi(n)}=1(\bmod n)\)，得证。
欧拉定理更一般的表述：若正整数\(a,n\)互素，则\(a^{\varphi(n)}=1(\bmod n)\)。
从上述证明过程可知，如果 a 与 n 是互素的正整数，满足同余方程\(a^x\equiv 1\pmod{n}\)的解都是元素\(a\)的阶的正整数倍。此处阶可记为\(ord_na\)。
根据欧拉定理，\(a a^{\varphi(n)-1}=1(\bmod n)\)，可得\(a\)的逆元（此处又可称模反元素）必定存在，且\(a^{-1}=a^{\varphi(n)-1}\)。
思考：费马小定理是欧拉定理的一个特例，试推断之。
定理：欧拉函数满足\(\sum_{d | n} \varphi(d)=n\)，其中\(\sum\)的下标表示\(n\)的所有因数（包括\(n \text { 和 } 1\)）。
其它
生成元：群中元素可以由最小数目个群元的乘积生成，这组群元称为该群的生成元，生成元的数目为有限群的秩。
秩：生成元的数目为有限群的秩。有限群的生成元的选择不唯一，但秩不变。
群、环、域：
- 群是含一个二元运算，由单位元和逆元，而交换群（加群）是还要满足交换律，半群是群的扩展，只满足结合律
- 环是两个二元运算、对加法构成加群，对乘法构成半群，满足分配律
- 域是两个二元运算，对加法构成加群，对乘法构成非零元的交换群，满足分配律
