编程之美---最大公约数问题

该文出自于编程之美中关于最大公约数问题一章。

任意给定两个数字，得到其最大公约数 GCD（greatest common divisor）,如果两个数字都很大怎么解决。

分析：最大公约数早在公元前300年，欧几里得的《几何原本》里就提出了一个高效率算法---辗转相除法。

解法一：

假设f(x,y)表示x,y的最大公约数，取k=x/y,b=x%y，则x=ky+b，如果一个数字能同时整除x,y，那么必能够同时整除b,y；而能够同时整除b,y的数必能够同时整除x,y,即x,y的公约数与b,y的公约数是相同的，其最大公约数也是相同的，则必有f(x,y)=f(y,x%y)(x>=y>0)，从而把两个数字的最大公约数转化为求两个更小数字的最大公约数，直到其中一个数字为0，剩下的另一个数字就是两者最大的公约数。

例如： f(42,30) = f(30,12) = f(12,6) = f(6,0) = 6

代码如下：

int gcd(int x,int y)
{
    return (!y)?x:gcd(y,x%y);
}

解法二：

由于辗转相除法中存在一个最大的问题是，取模运算（其中用到了除法运算）是非常昂贵的开销，成为了算法的瓶颈。根据解法一的思路分析，假设一个数能够同时整除x,y，则必能够同时整除x-y,y；而同时能够整除x-y,y的数字也必能够同时整除x,y，即x,y的公约数与x-y,y的公约数相同，其最大公约数也是相同的 即：f(x,y) = f(x-y,y)。这样做就不需要进行大量的去摸运算，而转化为减法运算。

例如：f(42,30) = f(30,12) = f(12,18) = f(12,6) = f(6,6,)=f(6,0) = 6

代码如下：

int gcd(int x,int y)
{
    if (x < y)
    return gcd(y,x);
    if (y == 0)
    return x;
    return gcd(x-y,y);
}

解法三：

解法一处理大整数整除问题比较复杂，解法二处理虽然将大整数问题除法转换为减法运算，降低了复杂度，但是他的问题在于减法迭代次数太多了。最好的方法就是解法一和解法二结合使用。

分析: 对于 y和x来说，如果y = k*y1, x = k*x1。那么有 f(y,x)=k*(y1,x1)。另外，如果x = p*x1,假设p是素数，且y%p!=0(即y不能够被p整除)，那么f(x,y)=f(p*x1,y)=f(x1,y);根据以上两点，我们可以对算法进行改进，最简单的就是取素数2，因为对于素数2同时可以转化为移位运算，避免大整数除法。

取p = 2;

若：x,y均为偶数， f(x,y) = 2*f(x/2,y/2)=2*f(x>>1,y>>1)

若：x为偶数，y为奇数，f(x,y)=f(x/2,y) = f(x>>1,y);

若：x为奇数，y为偶数，f(x,y)=f(x/2,y) = f(x,y>>1);

若：x,y均为奇数，f(x,y)=f(y,x-y),那么就存在f(x,y)=f(y,x-y)之后，(x-y)是一个偶数，下一步一定会有除以2的操作了。

因此这样的复杂度为 O(log2(max(x,y)));

例如：

f(42,30) = f(101010₂,11110₂)

　　　　  =2*f(10101₂,1111₂)

　　　　  =2*f(1111₂,110₂)

　　　　  =2*f(1111₂,11₂)

　　　　  =2*f(1100₂,11₂)

 　　　　 =2*f(11₂,11₂)

              =2*f(0₂,11₂)

　　　　　= 2*11₂

　　　　   =6

代码如下：

//奇数 偶数判断
bool isEven(int n)
{
    return (n&1)?false:true;
}
//高效率gcd
int gcd(int x,int y)
{
    if (x<y)
    return gcd(y,x);
    if (y == 0)
    return x;
    if(isEven(x))
    {
        if(isEven(y))
            return (gcd(x>>1,y>>1)<<1);
        else return gcd(x>>1,y);
    }else
    {
        if(isEven(y))
            return gcd(x,y>>1);
        else return gcd(y,x-y);
    }
}