斐波那契数列

斐波那契数列的发明者，是意大利数学家列昂纳多·斐波那契（Leonardo Fibonacci，生于公元1170年，卒于1240年，籍贯大概是比萨）。他被人称作“比萨的列昂纳多”。1202年，他撰写了《珠算原理》(Liber Abacci)一书。他是第一个研究了印度和阿拉伯数学理论的欧洲人。他的父亲被比萨的一家商业团体聘任为外交领事，派驻地点相当于今日的阿尔及利亚地区，列昂纳多因此得以在一个阿拉伯老师的指导下研究数学。他还曾在埃及、叙利亚、希腊、西西里和普罗旺斯研究数学。

　　

  

斐波那契数列通项公式

斐波那契数列指的是这样一个数列：1、1、2、3、5、8、13、21、……

　　这个数列从第三项开始，每一项都等于前两项之和。

　　它的通项公式为：(见图)（又叫“比内公式”，是用无理数表示有理数的一个范例。）

　　有趣的是：这样一个完全是自然数的数列，通项公式居然是用无理数来表达的。而且当n无穷大时an-1/an越来越逼近黄金分割数

　　0.618

　　证明:

　　a[n+2]=a[n+1]+a[n]

　　两边同时除以a[n+1]得到：

　　a[n+2]/a[n+1]=1+a[n]/a[n+1]

　　若a[n+1]/a[n]的极限存在，设其极限为x,

　　则lim[n->∞](a[n+2]/a[n+1])=lim[n->∞](a[n+1]/a[n])=x

　　所以x=1+1/x

　　即x²=x+1

　　所以极限是黄金分割比 .

奇妙的属性

　　随着数列项数的增加，前一项与后一项之比越来越逼近黄金分割的数值0.6180339887……

　　从第二项开始，每个奇数项的平方都比前后两项之积多1，每个偶数项的平方都比前后两项之积少1。（注：奇数项和偶数项是指项数的奇偶，而并不是指数列的数字本身的奇偶，比如第四项3是奇数，但它是偶数项，第五项5是奇数，它是奇数项，如果认为数字3和5都是奇数项，那就误解题意，怎么都说不通）

　　 如果你看到有这样一个题目：

　　某人把一个8*8的方格切成四块，拼成一个5*13的长方形，故

　　作惊讶地问你：为什么64=65？其实就是利用了斐波那契数列的这个性质：5、8、13正是数列中相邻的三项，事实上前后两块的面积

　　确实差1，只不过后面那个图中有一条细长的狭缝，一般人不容易注意到。

　　斐波那契数列的第n项同时也代表了集合{1,2,...,n}中所有不包含相邻正整数的子集个数。

　　斐波那契数列（f(n)，f(0)=0，f(1)=1，f(2)=1，f(3)=2……）的其他性质：

　　1.f(0)+f(1)+f(2)+…+f(n)=f(n+2)-1

　　2.f(1)+f(3)+f(5)+…+f(2n-1)=f(2n)

　　3.f(2)+f(4)+f(6)+…+f(2n) =f(2n+1)-1

　　4.[f(0)]^2+[f(1)]^2+…+[f(n)]^2=f(n)·f(n+1)

　　5.f(0)-f(1)+f(2)-…+(-1)^n·f(n)=(-1)^n·[f(n+1)-f(n)]+1

　　6.f(m+n-1)=f(m-1)·f(n-1)+f(m)·f(n)

　　利用这一点，可以用程序编出时间复杂度仅为O（log n）的程序。

　　怎样实现呢？伪代码描述一下?

　　7.[f(n)]^2=(-1)^(n-1)+f(n-1)·f(n+1)

　　8.f(2n-1)=[f(n)]^2-[f(n-2)]^2

　　9.3f(n)=f(n+2)+f(n-2)

　　10.f(2n-2m-2)[f(2n)+f(2n+2)]=f(2m+2)+f(4n-2m) [ n〉m≥-1,且n≥1]

11.f(2n+1)=[f(n)]^2+[f(n+1)]^2

在杨辉三角中隐藏着斐波那契数列

　　

  

将杨辉三角依次下降，成如图所示排列，将同一行的数加起来，即得一数列1、1、2、3、5、8、……

　　公式表示如下：

　　f(1)=C(0,0)=1

　　f(2)=C(1,0)=1

　　f(3)=C(2,0)+C(1,1)=1+1=2

　　f(4)=C(3,0)+C(2,1)=1+2=3

　　f(5)=C(4,0)+C(3,1)+C(2,2)=1+3+1=5

　　f(6)=C(5,0)+C(4,1)+C(3,2)=1+4+3=8

　　F(7)=C(6,0)+C(5,1)+C(4,2)+C(3,3)=1+5+6+1=13

　　……

　　F(n)=C(n-1,0)+C(n-2,1)+…+C(n-1-m,m) (m<=n-1-m)

斐波那契数列的整除性与素数生成性

　　每3个数有且只有一个被2整除，

　　每4个数有且只有一个被3整除,

　　每5个数有且只有一个被5整除，

　　每6个数有且只有一个被8整除,

　　每7个数有且只有一个被13整除，

　　每8个数有且只有一个被21整除,

　　每9个数有且只有一个被34整除，

　　.......

　　我们看到第5、7、11、13、17、23位分别是素数：5，13，89，233，1597，28657（第19位不是）

　　斐波那契数列的素数无限多吗？

斐波那契数列的个位数：一个60步的循环

　　11235,83145,94370,77415,61785.38190,

　　99875,27965,16730,33695,49325,72910…

斐波那契数与植物花瓣

　　3………………………百合和蝴蝶花

　　5………………………蓝花耧斗菜、金凤花、飞燕草、毛茛花

　　8………………………翠雀花

　　13………………………金盏

  

和玫瑰

　　21………………………紫宛

　　34、55、89……………雏菊

　　斐波那契数还可以在植物的叶、枝、茎等排列中发现。例如，在树木的枝干上选一片叶子，记其为数0，然后依序点数叶子（假定没有折损），直到到达与那息叶子正对的位置，则其间的叶子数多半是斐波那契数。叶子从一个位置到达下一个正对的位置称为一个循回。叶子在一个循回中旋转的圈数也是斐波那契数。在一个循回中叶子数与叶子旋转圈数的比称为叶序（源自希腊词，意即叶子的排列）比。多数的叶序比呈现为斐波那契数的比。

斐波那契—卢卡斯数列与广义斐波那契数列

斐波那契—卢卡斯数列

　　卢卡斯数列1、3、4、7、11、18…，也具有斐波那契数列同样的性质。(我们可称之为斐波那契—卢卡斯递推：从第三项开始，每一项都等于前两项之和f(n) = f(n-1)+ f(n-2)）。

　　这两个数列还有一种特殊的联系（如下表所示），F（n）*L（n）=F(2n)，及L（n）=F（n-1）+F(n+1)

　　

n	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	…
斐波那契数列F(n)	1	1	2	3	5	8	13	21	34	55	…
卢卡斯数列L(n)	1	3	4	7	11	18	29	47	76	123	…
F(n)*L(n)	1	3	8	21	55	144	377	987	2584	6765	…

类似的数列还有无限多个，我们称之为斐波那契—卢卡斯数列。

　　如1，4，5，9，14，23…，因为1，4开头，可记作F[1，4]，斐波那契数列就是F[1，1]，卢卡斯数列就是F[1，3]，斐波那契—卢卡斯数列就是F[a，b]。

斐波那契—卢卡斯数列之间的广泛联系

　　①任意两个或两个以上斐波那契—卢卡斯数列之和或差仍然是斐波那契—卢卡斯数列。

　　如：F[1,4]n+F[1,3]n=F[2,7]n，F[1,4]n-F[1,3]n=F[0,1]n=F[1,1](n-1)，

　　

n	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	…
F[1,4]n	1	4	5	9	14	23	37	60	97	157	…
F[1,3]n	1	3	4	7	11	18	29	47	76	123	…
F[1,4]n-F[1,3]n	0	1	1	2	3	5	8	13	21	34	…
F[1,4]n+F[1,3]n	2	7	9	16	25	41	66	107	173	280	…

②任何一个斐波那契—卢卡斯数列都可以由斐波那契数列的有限项之和获得，如

　　

n	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	…
F[1,1](n)	1	1	2	3	5	8	13	21	34	55	…
F[1,1](n-1)	0	1	1	2	3	5	8	13	21	34	…
F[1,1](n-1)	0	1	1	2	3	5	8	13	21	34	…
F[1,3]n	1	3	4	7	11	18	29	47	76	123	…

黄金特征与孪生斐波那契—卢卡斯数列

　　斐波那契—卢卡斯数列的另一个共同性质：中间项的平方数与前后两项之积的差的绝对值是一个恒值，

　　斐波那契数列：|1*1-1*2|=|2*2-1*3|=|3*3-2*5|=|5*5-3*8|=|8*8-5*13|=…=1

　　卢卡斯数列：|3*3-1*4|=|4*4-3*7|=…=5

　　F[1，4]数列：|4*4-1*5|=11

　　F[2，5]数列：|5*5-2*7|=11

　　F[2，7]数列：|7*7-2*9|=31

　　斐波那契数列这个值是1最小，也就是前后项之比接近黄金比例最快，我们称为黄金特征，黄金特征1的数列只有斐波那契数列，是独生数列。卢卡斯数列的黄金特征是5，也是独生数列。前两项互质的独生数列只有斐波那契数列和卢卡斯数列这两个数列。

　　而F[1，4]与F[2，5]的黄金特征都是11，是孪生数列。F[2，7]也有孪生数列：F[3，8]。其他前两项互质的斐波那契—卢卡斯数列都是孪生数列，称为孪生斐波那契—卢卡斯数列。

广义斐波那契数列

　　斐波那契数列的黄金特征1，还让我们联想到佩儿数列：1，2，5，12，29，…，也有|2*2-1*5|=|5*5-2*12|=…=1（该类数列的这种特征值称为勾股特征）。

　　佩尔数列Pn的递推规则：P1=1，P2=2，Pn=P(n-2)+2P(n-1).

　　据此类推到所有根据前两项导出第三项的通用规则：f(n) = f(n-1) * p + f(n-2) * q，称为广义斐波那契数列。

　　当p=1，q=1时，我们得到斐波那契—卢卡斯数列。

　　当p=1，q=2时，我们得到佩尔—勾股弦数（跟边长为整数的直角三角形有关的数列集合）。

　　当p=-1，q=2时，我们得到等差数列。其中f1=1，f2=2时，我们得到自然数列1，2，3，4…。自然数列的特征就是每个数的平方与前后两数之积的差为1（等差数列的这种差值称为自然特征）。

　　具有类似黄金特征、勾股特征、自然特征的广义斐波那契数列p=±1。

　　当f1=1，f2=2，p=2，q=1时，我们得到等比数列1，2，4，8，16……

斐波那契数列与黄金比

　　1÷1=1，2÷1=2，3÷2=1.5，5÷3=1.666...，8÷5=1.6，…………，89÷55=1.6181818…，…………233÷144=1.618055…75025÷46368=1.6180339889…。..

　　越到后面，这些比值越接近黄金比

相关的数学问题

1.排列组合

　　有一段楼梯有10级台阶，规定每一步只能跨一级或两级,要登上第10级台阶有几种不同的走法?

　　这就是一个斐波那契数列：登上第一级台阶有一种登法；登上两级台阶，有两种登法；登上三级台阶，有三种登法；登上四级台阶，有五种登法……

　　1，2，3，5，8，13……所以，登上十级，有89种走法。

2.数列中相邻两项的前项比后项的极限

　　当n趋于无穷大时，F(n)/F(n+1)的极限是多少？

　　这个可由它的通项公式直接得到，极限是(-1+√5)/2，这个就是黄金分割的数值，也是代表大自然的和谐的一个数字。

　　3.求递推数列a(1)=1，a(n+1)=1+1/a(n)的通项公式

　　由数学归纳法可以得到：a(n)=F(n+1)/F(n)，将斐波那契数列的通项式代入，化简就得结果。

斐波那契数列别名

　　斐波那契数列又因数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”。

　　一般而言，兔子在出生两个月后，就有繁殖能力，一对兔子每个月能生出一对小兔子来。如果所有兔都不死，那么一年以后可以繁殖多少对兔子？

　　我们不妨拿新出生的一对小兔子分析一下：

　　第一个月小兔子没有繁殖能力，所以还是一对

　　两个月后，生下一对小兔民数共有两对

　　三个月以后，老兔子又生下一对，因为小兔子还没有繁殖能力，所以一共是三对

　　－－－－－－

　　依次类推可以列出下表：

　　

经过月数	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
幼仔对数	0	0	1	1	2	3	5	8	13	21	34	55	89
成兔对数	0	1	1	2	3	5	8	13	21	34	55	89	144
总体对数	1	1	2	3	5	8	13	21	34	55	89	144	233

幼仔对数=前月成兔对数

　　成兔对数=前月成兔对数+前月幼仔对数

　　总体对数=本月成兔对数+本月幼仔对数

　　可以看出幼仔对数、成兔对数、总体对数都构成了一个数列。这个数列有关十分明显的特点，那是：前面相邻两项之和，构成了后一项。

　　这个数列是意大利中世纪数学家斐波那契在<算盘全书>中提出的，这个级数的通项公式，除了具有a(n+2)=an+a(n+1)的性质外，还可以证明通项公式为：an=（1/√5）*{[(1+√5)/2]^n-[(1-√5)/2]^n}（n=1,2,3.....）

斐波那契数列公式的推导

　　斐波那契数列：1、1、2、3、5、8、13、21、……

　　如果设F(n)为该数列的第n项(n∈N+)。那么这句话可以写成如下形式：

　　F(0) = 0，F(1)=1，F(n)=F(n-1)+F(n-2) (n≥2)，

　　显然这是一个线性递推数列。

　　通项公式的推导方法一：利用特征方程

　　线性递推数列的特征方程为：

　　X^2=X+1

　　解得

　　X1=(1+√5)/2,，X2=(1-√5)/2

　　则F(n)=C1*X1^n + C2*X2^n

　　∵F(1)=F(2)=1

　　∴C1*X1 + C2*X2

　　C1*X1^2 + C2*X2^2

　　解得C1=1/√5，C2=-1/√5

　　∴F(n)=(1/√5)*{[(1+√5)/2]^n - [(1-√5)/2]^n}（√5表示根号5）

　　通项公式的推导方法二：普通方法

　　设常数r，s

　　使得F(n)-r*F(n-1)=s*[F(n-1)-r*F(n-2)]

　　则r+s=1， -rs=1

　　n≥3时，有

　　F(n)-r*F(n-1)=s*[F(n-1)-r*F(n-2)]

　　F(n-1)-r*F(n-2)=s*[F(n-2)-r*F(n-3)]

　　F(n-2)-r*F(n-3)=s*[F(n-3)-r*F(n-4)]

　　……

　　F(3)-r*F(2)=s*[F(2)-r*F(1)]

　　将以上n-2个式子相乘，得：

　　F(n)-r*F(n-1)=[s^(n-2)]*[F(2)-r*F(1)]

　　∵s=1-r，F(1)=F(2)=1

　　上式可化简得：

　　F(n)=s^(n-1)+r*F(n-1)

　　那么：

　　F(n)=s^(n-1)+r*F(n-1)

　　= s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*F(n-2)

　　= s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*s^(n-3) + r^3*F(n-3)

　　……

　　= s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*s^(n-3) +……+ r^(n-2)*s + r^(n-1)*F(1)

　　= s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*s^(n-3) +……+ r^(n-2)*s + r^(n-1)

　　（这是一个以s^(n-1)为首项、以r^(n-1)为末项、r/s为公比的等比数列的各项的和）

　　=[s^(n-1)-r^(n-1)*r/s]/(1-r/s)

　　=(s^n - r^n)/(s-r)

　　r+s=1， -rs=1的一解为 s=(1+√5)/2，r=(1-√5)/2

　　则F(n)=(1/√5)*{[(1+√5)/2]^n - [(1-√5)/2]^n}

　　迭代法

　　已知a1=1,a2=1,an=a(n-1)+a(n-2)(n>=3),求数列{an}的通项公式

　　解 :设an-αa(n-1)=β(a(n-1)-αa(n-2))

　　得α+β=1

　　αβ=-1

　　构造方程x&sup2;-x-1=0,解得α=(1-√5)/2,β=(1+√5)/2或α=(1+√5)/2,β=(1-√5)/2

　　所以

　　an-(1-√5)/2*a(n-1)=(1+√5)/2*(a(n-1)-(1-√5)/2*a(n-2))=[(1+√5)/2]^(n-2)*(a2-(1-√5)/2*a1)`````````1

　　an-(1+√5)/2*a(n-1)=(1-√5)/2*(a(n-1)-(1+√5)/2*a(n-2))=[(1-√5)/2]^(n-2)*(a2-(1+√5)/2*a1)`````````2

　　由式1,式2,可得

　　an=[(1+√5)/2]^(n-2)*(a2-(1-√5)/2*a1)``````````````3

　　an=[(1-√5)/2]^(n-2)*(a2-(1+√5)/2*a1)``````````````4

　　将式3*(1+√5)/2-式4*(1-√5)/2,化简得an=(1/√5)*{[(1+√5)/2]^n - [(1-√5)/2]^n}

　　`````