算法导论-VLSI芯片测试问题

问题叙述：

4-6　　VLSI芯片测试

　　　　Diogenes教授有n个被认为是完全相同的VLSI芯片，原则上它们是可以互相测试的。教授的测试装置一次可测二片，当该装置中放有两片芯片时，每一片就对另一片作测试并报告其好坏。一个好的芯片总是能够报告另一片的好坏，但一个坏的芯片的结果是不可靠的。这样，每次测试的四种可能结果如下：

 

　　　　A芯片报告　　　　　　　　　B芯片报告　　　　　结论

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　　　　B是好的　　　　　　　　　　A是好的　　　　　　都是好的，或都是坏的

　　　　B是好的　　　　　　　　　　A是坏的　　　　　　至少一片是坏的

　　　　B是坏的　　　　　　　　　　A是好的　　　　　　至少一片是坏的

　　　　B是坏的　　　　　　　　　　A是坏的　　　　　　至少一片是坏的

 

a）证明若多于n/2的芯片是坏的，在这种成对测试方法下，使用任何策略都不能确定哪个芯片是好的。假设坏的芯片可以联合起来欺骗教授。

b）假设有多于n/2的芯片是好的，考虑从n片中找出一片好芯片的问题。证明n/2对测试就足以使问题的规模降至近原来的一半。

c）假设多于n/2片芯片是好的，证明好的芯片可用Θ(n)对测试找出。给出并解答表达式测试次数的递归式。

注：VLSI——Very Large Scale Integrated.

算法分析：

a）采用穷举法，将任何一片芯片与其它所有芯片进行比较，因为有多于n/2的芯片是坏的，且坏的芯片可以联合起来欺骗教授，则测试结果是不可靠的，无法判断出该芯片是好是坏。

b）假设：设有a个好的芯片数，b个坏的芯片数，z对测试结果为全好的测试对，其中芯片全为好的测试对为x，芯片全为坏的测试对为y，x+y=z。

二分测试思想：

1.随机的两两配对，则共有⌊n/2⌋对，分别测试。

2.根据问题描述：如果测试结果为一好一坏，或者两坏，那么把这对丢弃；如果测试结果为两好，那么随意丢弃其中一个，留下一个（若n为奇数，则剩余一个芯片没有配对。若z为奇数，丢弃这个芯片；若z为偶数（0也看做偶数），留下这个芯片）。这样操作后，留下的好芯片数一定还是大于坏的芯片数的，且经过⌊n/2⌋对测试后，原问题的规模降低了近一半。

3.重复第2步，当n<=2时，就只剩下了好的芯片。

证明：

测试结果为一好一坏或者两坏的芯片对中至少一片是坏的，把这对丢弃能保证剩下的芯片中好芯片的数量仍大于坏芯片的数量。

测试结果为全好的，这对芯片有可能全为好，有可能全为坏，随意丢弃其中一个，留下 一个。设好芯片的对数为x，坏芯片的对数为y。考虑n的情况：

      若n为偶数，则x>y，所以留下的好芯片数还是大于坏的芯片数；

      若n为奇数，则剩余一个没有配对的芯片。考虑z的情况：

           若z是奇数，则x>y，丢弃这个芯片，这样留下的好芯片数还是大于坏的芯片数；

           若z是偶数，考虑这个芯片的情况：

                若芯片是好的，则x>=y，留下这个好的芯片，这样留下的好芯片数还是大于坏的芯片数；            

                若芯片是坏的，则x-y>=2，留下这个坏的芯片，这样留下的好芯片数还是大于坏的芯片数。

综上所述，留下的好芯片数一定还是大于坏的芯片数的。

c）采用b中的操作方法，递归式为：f(n) = f(n/2) + n/2。这个递归式符合主定理中的第三种情况，所以好的芯片可用Θ(n)对测试找出。