[BZOJ 4144] Petrol
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Solution:
一道不错的图论综合题
因为只询问关键点，因此重点是要求出关键点之间的最短路，以最短路建图
记$nst[i]$为离$i$最近的关键点：可以发现$A->B$的最短路径上，一定是前一半$nst[i]$为$A$，后一半$nst[i]$为$B$
否则设$nst[x]=C$，则$A->C->B$由于经过了$C$的加油一定不会更差
因此对于符合条件的$A->B$连边就建出了新图（如果离线的话仅修改权值不更改节点也可行）
接下来为了使连通的最大边最小跑$Kruskal$，此时分为两种方式：
Solution A：Offline
明显是更简单的解法，学会利用离线啊！
将$Query$按$b$从小到大排序
每次只连接$edge(u,v) (w(u,v)<=b)$，最后判断$x,y$是否在一个点集中即可
Solution B：Online
如果要强制在线也可以做，而且算常用套路
先跑$Kruskal$，将图转化为了树，每次询问在树上倍增查找
Code:
#include<bits/stdc++.h> using namespace std; typedef pair<int,int> P; const int MAXN=2e5+10; struct data{int x,y,w;}edge[MAXN]; struct E{int to,nxt,w;}e[MAXN<<2]; priority_queue<P,vector<P>,greater<P> > pq; int belong[MAXN],f[MAXN][25],mx[MAXN][25],dep[MAXN],nst[MAXN],cnt=0; int n,m,s,q,tot,head[MAXN],pos[MAXN],dist[MAXN],res[MAXN],vis[MAXN],fa[MAXN]; void add_edge(int from,int to,int cost) { e[++tot].nxt=head[from];e[tot].w=cost;e[tot].to=to;head[from]=tot; e[++tot].nxt=head[to];e[tot].w=cost;e[tot].to=from;head[to]=tot; } int find(int x){return (fa[x]==x)?x:(fa[x]=find(fa[x]));} bool cmp(data a,data b){return a.w<b.w;} void dijkstra() { for(int i=1;i<=s;i++) dist[pos[i]]=0,nst[pos[i]]=pos[i],pq.push(P(0,pos[i])); while(!pq.empty()) { int u=pq.top().second;pq.pop(); if(vis[u]) continue;vis[u]=true; for(int i=head[u];i;i=e[i].nxt) if(dist[e[i].to]>dist[u]+e[i].w) { dist[e[i].to]=dist[u]+e[i].w;nst[e[i].to]=nst[u]; pq.push(P(dist[e[i].to],e[i].to)); } } } void MST() { memset(head,0,sizeof(head)); int e_cnt=0;tot=0; for(int i=1;i<=n;i++) fa[i]=i; for(int i=1;i<=m;i++) { int x=edge[i].x,y=edge[i].y; if(nst[x]==nst[y]) continue; edge[++e_cnt].w=dist[x]+dist[y]+edge[i].w; edge[e_cnt].x=nst[x];edge[e_cnt].y=nst[y]; } sort(edge+1,edge+e_cnt+1,cmp); for(int i=1;i<=e_cnt;i++) { int fx=find(edge[i].x),fy=find(edge[i].y); if(fx!=fy) fa[fx]=fa[fy],add_edge(edge[i].x,edge[i].y,edge[i].w); } } void dfs(int x,int bloc) { belong[x]=bloc; for(int i=1;(1<<i)<=dep[x];i++) f[x][i]=f[f[x][i-1]][i-1], mx[x][i]=max(mx[x][i-1],mx[f[x][i-1]][i-1]); for(int i=head[x];i;i=e[i].nxt) { if(e[i].to==f[x][0]) continue; dep[e[i].to]=dep[x]+1; f[e[i].to][0]=x;mx[e[i].to][0]=e[i].w; dfs(e[i].to,bloc); } } int check(int x,int y) { if(dep[x]<dep[y]) swap(x,y); int t=dep[x]-dep[y],ret=0; for(int i=0;i<=20;i++) if(t&(1<<i)) ret=max(ret,mx[x][i]),x=f[x][i]; for(int i=20;i>=0;i--) if(f[x][i]!=f[y][i]) ret=max(ret,max(mx[x][i],mx[y][i])), x=f[x][i],y=f[y][i]; if(x!=y) ret=max(ret,max(mx[x][0],mx[y][0])); return ret; } int main() { scanf("%d%d%d",&n,&s,&m); for(int i=1;i<=s;i++) scanf("%d",&pos[i]); for(int i=1;i<=m;i++) scanf("%d%d%d",&edge[i].x,&edge[i].y,&edge[i].w), add_edge(edge[i].x,edge[i].y,edge[i].w); memset(dist,0x3f,sizeof(dist)); dijkstra();MST(); for(int i=1;i<=s;i++) if(!belong[pos[i]]) dfs(pos[i],++cnt); scanf("%d",&q); for(int i=1;i<=q;i++) { int x,y,b;scanf("%d%d%d",&x,&y,&b); if(belong[x]!=belong[y]) puts("NIE"); else puts((check(x,y)<=b)?"TAK":"NIE"); } return 0; }
#include<bits/stdc++.h> using namespace std; typedef pair<int,int> P; const int MAXN=2e5+10; struct data{int x,y,w;}edge[MAXN]; struct E{int to,nxt,w;}e[MAXN<<2]; struct Query{int x,y,b,id;}q[MAXN]; priority_queue<P,vector<P>,greater<P> > pq; int n,m,s,tot,head[MAXN],pos[MAXN],dist[MAXN],f[MAXN],res[MAXN],vis[MAXN]; void add_edge(int from,int to,int cost) { e[++tot].nxt=head[from];e[tot].w=cost;e[tot].to=to;head[from]=tot; e[++tot].nxt=head[to];e[tot].w=cost;e[tot].to=from;head[to]=tot; } int find(int x){return (f[x]==x)?x:(f[x]=find(f[x]));} bool cmp1(data a,data b){return a.w<b.w;} bool cmp2(Query a,Query b){return a.b<b.b;} void dijkstra() { for(int i=1;i<=s;i++) dist[pos[i]]=0,pq.push(P(0,pos[i])); while(!pq.empty()) { P t=pq.top();pq.pop(); int u=t.second; if(t.first>dist[u]) continue; //这里的判断一定要加，或用vis也行 for(int i=head[u];i;i=e[i].nxt) //否则疯狂TLE if(dist[e[i].to]>dist[u]+e[i].w) dist[e[i].to]=dist[u]+e[i].w,pq.push(P(dist[e[i].to],e[i].to)); } } int main() { scanf("%d%d%d",&n,&s,&m); for(int i=1;i<=s;i++) scanf("%d",&pos[i]); for(int i=1;i<=m;i++) scanf("%d%d%d",&edge[i].x,&edge[i].y,&edge[i].w), add_edge(edge[i].x,edge[i].y,edge[i].w); memset(dist,0x3f,sizeof(dist));dijkstra(); for(int i=1;i<=m;i++) edge[i].w+=dist[edge[i].x]+dist[edge[i].y]; scanf("%d",&s); for(int i=1;i<=s;i++) scanf("%d%d%d",&q[i].x,&q[i].y,&q[i].b),q[i].id=i; sort(edge+1,edge+m+1,cmp1); sort(q+1,q+s+1,cmp2); int cur=1; for(int i=1;i<=n;i++) f[i]=i; for(int i=1;i<=s;i++) { while(cur<=m&&edge[cur].w<=q[i].b) { int fx=find(edge[cur].x),fy=find(edge[cur].y); if(fx!=fy) f[fx]=fy;cur++; } res[q[i].id]=(find(q[i].x)==find(q[i].y)); } for(int i=1;i<=s;i++) puts(res[i]?"TAK":"NIE"); return 0; }
Review:
1、关于$dijkstra$的模板：
一定要保证每个点只对其后继更新一次！不管是用$vis[i]$还是$top.first>dist[top.second]$
2、如果可以离线，查看能否通过将询问排序简化查询过程
3、套路：将图转为树，然后树上倍增查询
