[BZOJ 1913] signaling 信号覆盖

Link:https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=1913

TIP：（注意，这题只能输出6位才能过，7位都不行wtf？） 

 

Algorithm:

此题要从四边形的角度去考虑

 

对于原图中能形成的任意一个四边形：

1、如为凸四边形，明显只有对角和大于180的那两个角形成的三角形的外接圆能包含第4个点

     因此每个凸四边形对答案的贡献为2

2、如为凹四边形，对答案的贡献只有1：被其他三个角形成的三角形包含的点

 

于是最终结果为：

$\frac{num_{凹四边形}+2num_{凸四边形}}{C_n^3(总方案数)}+3$

由于凹四边形明显比凸四边形更好求：

$\frac{num_{凹四边形}+2(C_n^4-num_{凹四边形})}{C_n^3(总方案数)}+3$

 

在求凹四边形时，对于每一个点，我们只要求出其被几个三角形包含即可

但反向求解明显更方便：求多少个三角形不包含x

其他点以x为原点极角排序，对于每个点计算其ANG~ANG+PI间有多少个点，再统计能生成多少个三角形

 

Code：

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;
typedef complex<double> point;
typedef long long ll;

const int MAXN=5e3;
const double PI=3.1415926535897384626;
int n;
point dat[MAXN];
double ang[MAXN];

ll res=0;

double C(double a,double b)
{
    double ret=1;
    for(int i=1;i<=b;i++)
        ret=ret*(a-i+1)/i;
    return ret;
}

void cal(int pos)
{
    int len=0;
    for(int i=1;i<=n;i++) //转为极坐标系
        if(i!=pos) ang[++len]=atan2((dat[i]-dat[pos]).real(),(dat[i]-dat[pos]).imag());
    
    sort(ang+1,ang+len+1);
    
    ll llen=len,temp=0;
    for(int i=1;i<=llen;i++)  //首尾相接序列的基本操作
        ang[++len]=ang[i]+2*PI;
    
    int cur=1;
    for(int i=1;i<=llen;i++)
    {
        while(cur<=len && ang[cur]<ang[i]+PI) cur++; //维护单调性
        if(cur-i-1>=2) temp+=C(cur-i-1,2);
    }
    res+=C(n-1,3)-temp;
}

int main()
{
    cout.setf(ios::fixed);
    cout.precision(6);
    cin >> n;
    for(int i=1;i<=n;i++) cin >> dat[i].real() >> dat[i].imag();
    
    for(int i=1;i<=n;i++) cal(i);
    
    cout << (res+(C(n,4)-res)*2)/C(n,3)+3.0;
    return 0;
}

 

1、求解凹四边形个数：

反向求解，利用极角排序对每个点求出不包含其的三角形的个数

 

2、对极坐标系的处理

由于序列是首尾相接的，要将原数组的数+2PI后扩充为原来的两倍，方便处理

 

3、对于包含类问题，可以将包含体和被包含点集体考虑

     考虑它们看作一个整体时的性质