多元高斯分布(Multivariate Gaussian Distribution)

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还是对计算机的监测，我们发现CPU负载和占用内存之间，存在正相关关系。

CPU负负载增加的时候占用内存也会增加：

 

 

假如我们有一个数据，x1的值是在 0.4 和 0.6 之间，x2的值是在 1.6 和 1.8 之间，就是下图中的绿点：

 

 

它明显偏离了正常的范围，所以是一个异常的数据。

但如果单独从CPU负载和占用内存的角度来看，该数据却是混杂正常数据之中，处于正常的范围：

 

 

 

 

这个异常的数据会被认为是正常的，因为我们得到模型的轮廓图是这样的：

 

 

为了改良这样的情况，我们需要把特征之间的相关性考虑进来。

第一种方式我们在上一篇笔记中有提到，就是增加一个新的特征 x3，把两者的相关性考虑进去：

 

 

 

另一种方式：多元高斯分布（Multivariate Gaussian Distribution），自动捕捉特征之间的相关性，公式如下：

 

其中 μ 为特征的均值，是一个 n*1 的向量：

 

Σ 为 特征的协方差，是一个 n*n 的矩阵：

 

假设我们的均值与协方差的初始值和对应的三维图形与轮廓图如下：

 

μ 决定的是中心的位置，改变 μ 的值意味着中心的移动：

 

协方差矩阵控制的是对概率密度的敏感度。

例如某个方向的协方差越小，那么随着在该方向上的水平位移，高度的变化就越大。

首先我们看看各个特征不相关（正交）的情况：

 

 

 

我们再看一下考虑特征相关性的情况，下面两个图片分别到正相关和负相关的变化：

 

 

你看之前的模型 p(x) 会把异常数据认定为正常，而到了多元高斯分布的模型中，就得到了很好的解决：

 

之前的模型：

 

 

其实是多元高斯分布的一种特例，就是协方差矩阵 Σ 为对角矩阵的情况：

 

进行一个简单的推演你就明白了。

假设我们只有两个特征：

 

那么均值和协方差矩阵分别是：

 

把它们代入到多元高斯分布的公式中，可以推演得到：

 

二元高斯分布的密度函数，其实就是两个独立的高斯分部密度的乘积，特征更多的情况也是类似的。

需要注意的是，这里的推导不是证明的过程，仅仅是为了让你更好地理解两者的关系。

我们知道有这么两种方式可以处理特征之间的相关关系，那么应该如何选择呢？

这个需要根据具体的现实条件进行选择。

下表是两者的对比：