P1064 [NOIP2006 提高组] 金明的预算方案

原题链接

考察:分组背包dp

错误思路:
       设置f[i][j]前i组选j个的集合,但这样划分集合没有考虑钱数,求不到最优解.pass

       设置f[i][j][k]表示前i组选j个体积为k的三维数组,先不说有MLE的风险,而且枚举几个的时候很难计算体积

正确思路:

       由上面应该要联想到状压dp,在能枚举出几个的情况下,还能计算相应的体积与价值.将每个无父节点的结点分别看成一组,因为子节点很少所以可以用二进制枚举选择的情况.每组的每个情况都是互斥,最后融合的体积为m,因此是分组背包模型.

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <vector>
using namespace std;
const int N = 32010,M = 65;
int n,m,v[M],w[M],f[N];
vector<int> b[M],tmp[M],val[M];
void init()
{
    for(int i=0;i<b[0].size();i++)
    {
        int sz = b[b[0][i]].size(),t =b[0][i];
        tmp[i+1].push_back(0);
        val[i+1].push_back(0);
        for(int j=0;j<1<<sz;j++)
        {
            int res = v[t]*w[t],price = v[t];
            for(int k=0;k<sz;k++)
              if(j>>k&1)
              {
                  res+=v[b[t][k]]*w[b[t][k]];
                  price+=v[b[t][k]];
              }
            tmp[i+1].push_back(res);
            val[i+1].push_back(price);
        }
    }
}
int main()
{
    scanf("%d%d",&m,&n);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        int q;
        scanf("%d%d%d",&v[i],&w[i],&q);
        b[q].push_back(i);
    }
    init();
    for(int i=1;i<=b[0].size();i++)
      for(int j=m;j>=0;j--)
        for(int k=0;k<tmp[i].size();k++)
         if(j>=val[i][k]) f[j] = max(f[j],f[j-val[i][k]]+tmp[i][k]);
    printf("%d\n",f[m]);
    return 0;
}

      以上只适用于子节点很少的情况,一旦子节点个数多了就会TLE到难以直视.这道题本质是求选父节点和不选父节点的最大值.在已经确定选择父节点的情况下,可以将二进制枚举方案数换成01背包,这样时间复杂度就从O(2^m)变成O(m).

     先计算只有父节点的情况,在此情况下计算01背包,最后将选父节点与不选父节点进行比较.(一定要计算完父子节点01背包的情况再与选不选父节点比较)

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <vector>
using namespace std;
const int N = 32010,M = 61;
typedef pair<int,int> PII;
int w[N],v[N],n,m,f[M][N];
vector<PII> son[M];
PII fa[M];
int main()
{
    scanf("%d%d",&m,&n);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        int p;
        scanf("%d%d%d",&v[i],&w[i],&p);
        if(p) son[p].push_back({v[i],v[i]*w[i]});
        else fa[i] = {v[i],v[i]*w[i]};
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        if(fa[i].first)
        {
            for(int j=fa[i].first;j<=m;j++)//加上父节点
              f[i][j] = f[i-1][j-fa[i].first]+fa[i].second;
            for(int k=0;k<son[i].size();k++)
             for(int q = m;q>=son[i][k].first;q--)
              if(f[i][q-son[i][k].first]) 
               f[i][q] = max(f[i][q-son[i][k].first]+son[i][k].second,f[i][q]);
        }
        for(int j=0;j<=m;j++)//没选父节点传递下去.
          f[i][j] = max(f[i-1][j],f[i][j]);
    }
    printf("%d\n",f[n][m]);
    return 0;
}