P4159 [SCOI2009] 迷路

原题链接

考察:dp+矩阵快速幂

思路:

        首先了解邻接矩阵的一个性质:当邻接矩阵T^k , a_ij表示从i到j长度为k的路径数有a_ij条.以k = 2为例,a_ij*a_jk 表示从i->j有一条路,从j->k有一条路.总体就是i->k有一条路.当j变化时就能得到方案数.

        但是这道题的边权并非为1,这个性质只能用于边权为1的情况.因此我们要让边权化为1.这里要想到拆点,将一个点i,拆成1~9点(此题边权不超过9,便于处理.)起点是1,如果路径长度为5,那么在i的第5个点和j的第一个点连一条边.

注意:路径为0是不用连的

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int Mod = 2009,N = 110;
int g[N][N],a[N][N],n,t;
char s[15];
void mul(int f[][N],int a[][N])
{
    int res[N][N],all = n*9;
    memset(res,0,sizeof res);
    for(int i=1;i<=all;i++)
      for(int j=1;j<=all;j++)
        for(int k=1;k<=all;k++)
          res[i][j] = ((LL)f[i][k]*a[k][j]%Mod+res[i][j])%Mod;
    memcpy(f,res,sizeof res);
}
int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&t);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        for(int j=1;j<=8;j++)
          g[(i-1)*9+j][(i-1)*9+j+1] = 1;
        scanf("%s",s+1);
        for(int j=1;j<=n;j++)
            if(s[j]>'0') 
              g[(i-1)*9+s[j]-'0'][(j-1)*9+1] = 1;
    }
    memcpy(a,g,sizeof g);
    t--;
    while(t)
    {
        if(t&1) mul(g,a);
        mul(a,a);
        t>>=1;
    }
    printf("%d\n",g[1][(n-1)*9+1]);
    return 0;
}