浅谈斯特林数及其应用

第一类斯特林数

定义

第一类Stirling数表示将 n 个不同元素构成m个圆排列的数目。

设有多项式

\[[x]_n = x(x-1)(x-2)\dots(x-n+1) \]

\[=s(n,0)+s(n,1)x+s(n,2)x^2+\dots +s(n,n)x^n \]

则称\(s(n,0),s(n,1),\dots,s(n,n)\)为第\(1\)类斯特林数。

递推式

\[[x]_{n+1}=[s(n,0)+s(n,1)x+s(n,2)x^2+\dots +s(n,n)x^n](x-n) \]

\[=s(n+1,0)+s(n+1,1)x+\dots+s(n+1,n+1)x^{n+1} \]

显然有

\[s(n,r)=s(n-1,r-1)+(n-1)s(n-1,r) \]

考虑其组合意义，最后一个球可以单独构成一个圆排列，也可以插入前面某一个球的一侧。

若单独放，则有\(s(n-1,r-1)\)种放法；若放在某个球的一侧，则有\((n-1)s(n-1,r)\)种放法。

第二类斯特林数

定义

\(n\)个有区别的球放到\(m\)个相同的盒子里，要求无一空盒，其不同的方案数用\(S(n,m)\)来表示，称为第２类斯特林数，即\(S(n,m)\)也就是将\(n\)个数拆分成非空的\(ｍ\)个部分的方案数。

\(E.g.\) 红、黄、蓝、白这\(4\)种颜色的球，放到两个无区别的盒子里，不允许空盒，其方案有如下\(7\)种：

盒子	1	2	3	4	5	6	7
第一个盒子	r	y	b	w	ry	rb	rw
第二个盒子	ybw	rbw	ryw	ryb	bw	yw	yb

其中\(r\)表示红球，\(y\)表示黄球，\(b\)表示蓝球，\(w\)表示白球，则有

\[S(4,2)=7 \]

性质

1. \(S(n,0)=S(0,n)=0,\forall n \in \mathbb{N}\)

2. \(S(n,k)>0\)，若\(n\ge k\ge 1\)

3. \(S(n,k)=0\)，若\(k > n\ge 1\)

4. \(S(n,1)=1,n\ge 1\)

5. \(S(n,n)=1,n\ge 1\)

   前\(5\)个性质是显然的。

6. \(S(n,2)=2^{n-1}-1\)

   证明： 两个盒子没有区别，当第\(1\)个球放进其中一个盒子之后，其余的\(n-1\)个有标志的球都有与第\(1\)个球同盒与否的两种选择，但是要排除全部放在同一个盒子的情况，所以是\(2^{n-1}-1\)。

7. \(S(n,3)=\frac{1}{2}(3^{n-1}+1)-2^{n-1}\)

   证明： 先咕着。

8. \(S(n,n-1)=\binom{n}{2}\)

   证明： \(n\)个有标志的球，\(n-1\)个无区别的盒子，无一空盒，所以必定有一个盒子有两个球，所以方案数为\(\binom{n}{2}\)。

9. \(S(n,n-2)=\binom{n}{3}+3\binom{n}{4}\)

   证明： \(n\)个有标志的球，\(n-2\)个无区别的盒子，无一空盒，所以有两种情况：一是有一个盒子有\(3\)个球，方案数为\(\binom{n}{3}\)；另一种可能则是有两个盒子里面各有\(2\)个球，方案数为\(3\binom{n}{4}\)。

递推式

\[S(n,r)=S(n-1,r-1)+rS(n-1,r) \]

考虑最后一个球，若它单独放在一个盒子里，则方案数为\(S(n-1,r-1)\)；若放在前面的某一个盒子里，则方案数为\(rS(n-1,r)\)。

通项公式

\[S(n,m)=\frac{1}{m!} \left[ m^n - \binom{m}{1}(m-1)^n+\binom{m}{2}(m-2)^n- \dots + (-1)^{m-1}\binom{m}{m-1}1^n \right] \]

\[=\frac{1}{m!} \sum \limits_{k=0}^{m} (-1)^k C(m,k) (m-k)^n \]

证明：

假设盒子有区别，且允许空盒存在，那么显然答案就是\(m^n\)。但是这里不允许有空盒存在，那么进行容斥。

枚举当前的空盒数，那么先将空盒选出来，也就是\(\binom{m}{k}\)，那么剩下的\(m-k\)个盒子就可以随意放入\(n\)个球，也就是\((m-k)^n\)。最后，由于盒子是没有区别的，所以除以一个重复数\(m!\)。

求斯特林数

除了\(O(n^2)\)递推外还有没有别的方法计算第二类斯特林数呢？显然是有的。

回顾一下上面的通项公式

\[S(n,m)=\frac{1}{m!} \sum \limits_{k=0}^{m} (-1)^k C(m,k) (m-k)^n \]

稍微整理一下

\[S(n,m)=\frac{1}{m!} \sum \limits_{k=0}^{m} (-1)^k \frac{m!}{k!(m-k)!} (m-k)^n \]

\[S(n,m)=\frac{1}{m!} \sum \limits_{k=0}^{m} m! \frac{(-1)^k}{k!} \frac{(m-k)^n}{(m-k)!} \]

\[S(n,m)=\sum \limits_{k=0}^{m} \frac{(-1)^k}{k!} \frac{(m-k)^n}{(m-k)!} \]

显然，这样就是一个卷积的形式了，可以快速得把一行斯特林数都求出来。

斯特林反演

博主太菜了，不会，咕了。

斯特林数及斯特林反演的应用

咕了。