递归和递推 && 动态规划算法

借鉴：http://www.cnblogs.com/steven_oyj/archive/2010/05/22/1741374.html 

动态规划算法：

一、算法思想：

  将待求解的问题分解成若干个子问题，并存储子问题的解而避免计算重复的子问题，并由子问题的解得到原问题的解。

l动态规划算法通常用于求解具有某种最优性质的问题。

l动态规划算法的基本要素：最优子结构性质和重叠子问题。

1、l最优子结构性质：问题的最优解包含着它的子问题的最优解。即不管前面的策略如何，此后的决策必须是基于当前状态（由上一次决策产生）的最优决策。

2、重叠子问题：在用递归算法自顶向下解问题时，每次产生的子问题并不总是新问题，有些问题被反复计算多次。对每个子问题只解一次，然后将其解保存起来，以后再遇到同样的问题时就可以直接引用，不必重新求解

 

二、特征：

1. 动态规划一般解决最值（最优，最大，最小，最长……）问题；

2. 动态规划解决的问题一般是离散的，可以分解（划分阶段）的；

3. 动态规划解决的问题必须包含最优子结构，即可以由（n－1）的最优推导出n的最优。

三、动态规划算法的4个步骤：

   1. 刻画最优解的结构特性. （一维，二维，三维数组）    将（1,2,3,4,5.....i-1，i）状态的值存到数组中

   2. 递归的定义最优解. （状态转移方程）

   3. 以自底向上的方法来计算最优解.

   4. 从计算得到的解来构造一个最优解.

四、主要思路：

n许多求最优解的问题可以用动态规划来解决。

n 首先要把原问题分解为若干个子问题。注意单纯的递归往往会导致子问题被重复计算，用动态规划的方法，子问题的解一旦求出就要被保存，所以每个子问题只需求解一次。

n 子问题经常和原问题形式相似，有时甚至完全一样，只不过规模从原来的n 变成了n-1，或从原来的n×m 变成了n×(m-1) ……等等。

n 找到子问题，就意味着找到了将整个问题逐渐分解的办法。分解下去，直到最底层规模最小的的子问题可以一目了然地看出解。

n 每一层子问题的解决，会导致上一层子问题的解决，逐层向上，就会导致最终整个问题的解决。

n 如果从最底层的子问题开始，自底向上地推导出一个个子问题的解，那么编程的时候就不需要写递归函数。

n 用动态规划解题时，将和子问题相关的各个变量的一组取值，称之为一个“状态”。一个“状态”对应于一个或多个子问题，所谓某个“状态”下的“值”，就是这个“状态”所对应的子问题的解。 比如数字三角形，子问题就是“从位于(r，j)数字开始，到底边路径的最大和”。这个子问题和两个变量r 和j 相关，那么一个“状态”，就是r, j 的一组取值，即每个数字的位置就是一个“状态”。该“状态”所对应的“值”，就是从该位置的数字开始，到底边的最佳路径上的数字之和。

n 定义出什么是“状态”，以及在该 “状态”下的“值”后，就要找出不同的状态之间如何迁移――即如何从一个或多个“值”已知的 “状态”，求出另一个“状态”的“值”。状态的迁移可以用递推公式表示，此递推公式也可被称作“状态转移方程”。（注意：状态可以用什么来表示？一般是数组，值就是这个数组存的数字）

n用动态规划解题，如何寻找“子问题”，定义“状态”，“状态转移方程”是什么样的，并没有一定之规，需要具体问题具体分析，题目做多了就会有感觉。（难点！）