【HNOI2008】玩具装箱 两种做法

题目评测在这里

http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=1010

 

一道很明显的1D1D动态规划，方程很好写

f[i]=min{ f[j] + ( i-(j+1)+s[i]-s[j]-l )²}

 

直接写的话500000的数据量会让你明白。

 

两种做法：

 

①四边形不等式优化

　　很明显的，用w[i+1,j]表示上述方程里的( i-(j+1)+s[i]-s[j]-l )²，不难验证这是个满足单调性的，也就是说对于这个方程，决策是单调的

　　那么根据决策单调性，很自然的就有O(nlogn)的算法了

/**
*Prob    : HNOI 2008 toy
*Sol    : 1D1D dp -- 决策单调性
*Data    : 2012-6
*Author : Zhou Hang
*/

#include <cmath>
#include <algorithm>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>

#define MaxN 55000
#define lld long long


using namespace std;

struct node
{
    int x,y;//决策适用区间
    int pos; //由pos转移得到
} q[MaxN];

int n,l;
lld f[MaxN],c[MaxN];

lld sqr(lld x)
{
    return x*x;
}

lld cal(int x,int y)
{
    return sqr(x-(y+1)+(c[x]-c[y])-l)+f[y];
}

void dp()
{
    memset(f,127,sizeof(f));
    f[0]=0;
    int head=1,tail=1;
    q[1].x=1; q[1].y=n; q[1].pos=0;
    
    int l,r,mid;
    
    for (int i=1; i<=n; i++)
    {
        //算出f[i]
        f[i]=cal(i,q[head].pos);
        if (i+1>q[head].y) head++;
        
        //差的决策整体淘汰
        while (head<=tail && cal(q[tail].x,i)<cal(q[tail].x,q[tail].pos) )
            tail--;
        
        //对列为空
        if (head>tail)
        {
            q[++tail].x=i+1;
            q[tail].y=n; q[tail].pos=i;
            continue;
        }
        
        //二分，留下当前决策的一部分
        l=q[tail].x; r=q[tail].y+1;
        while (l+1<r)
        {
            mid=(l+r)/2;
            if ( cal(mid,i)<cal(mid,q[tail].pos) ) r=mid;
            else l=mid;
        }
        if (r>=n+1) continue;
        
        q[tail].y=l;
        q[++tail].x=r;
        q[tail].y=n;
        q[tail].pos=i;
    }
    
}


int main()
{
    freopen("toy.in","r",stdin);
    freopen("toy.out","w",stdout);
    
    scanf("%d%d",&n,&l);
    c[0]=0;
    for (int i=1; i<=n; i++)
    {
        scanf("%d",&c[i]);
        c[i]+=c[i-1];
    }
    
    dp();
    
    cout<<f[n]<<endl;
    
    fclose(stdin); fclose(stdout);
    return 0;
}

 

②斜率优化 O(n)

　　个人觉得实际上斜率优化就是凸完全单调性的一种特殊情况，关于斜率优化的使用方法，这个人条理很清晰，觉得很好，受到了很大启发

　　在这里谢一声http://blog.sina.com.cn/s/blog_5e6fc6d60100vp2j.html

　　关于斜率优化的讲解，http://wenku.baidu.com/view/d3d979dcd15abe23482f4d58.html这个里面讲的很好

　　这道题直接说化简方程后的结果了：((f[x]+s'[x]*s'[x])-(f[y]+s'[y]*s'[y]))/(s'[x]-s'[y])>2*(s'[i]-L')    其中s'[i]=s[i]+i,L'=L+1

　　G(x,y)=((f[x]+s'[x]*s'[x])-(f[y]+s'[y]*s'[y]))/(s'[x]-s'[y])

　　具体看代码

/**
*Prob    : HNOI 2008 toy
*Sol    : 1D1D dp -- 斜率优化
*Data    : 2012-6
*Author : Zhou Hang
*/

#include <cmath>
#include <algorithm>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>

#define MaxN 55000
#define lld long long

using namespace std;

int q[MaxN];
int n,l;
lld f[MaxN],s[MaxN];

double G(int x,int y)
{
    return ((f[x]+s[x]*s[x])-(f[y]+s[y]*s[y]))/(s[x]-s[y]);
}


void dp()
{
    memset(f,127,sizeof(f));
    f[0]=0; q[1]=0;
    int head=1,tail=1;
    
    for (int i=1;i<=n;++i)    
    {
        while (head<tail && G(q[head],q[head+1])<=2*(s[i]-l-1))
            head++;

        f[i]=f[q[head]]+(s[i]-s[q[head]]-1-l)*(s[i]-s[q[head]]-1-l);

        while (head<tail && G(q[tail-1],q[tail])>=G(q[tail],i))
            tail--;
        q[++tail]=i;
    }
    cout<<f[n]<<"\n";
}

int main()
{
    freopen("toy.in","r",stdin);
    freopen("toy.out","w",stdout);

    scanf("%d%d",&n,&l);
    s[0]=0;
    for (int i=1; i<=n; i++)
    {
        scanf("%d",&s[i]);
        s[i]+=s[i-1]+1;
    }
    //s'[i]=s[i]+n 用s[i]存s'[i]
    
    dp();


    fclose(stdin); fclose(stdout);
    return 0;
}