极大强连通分量的Tarjan算法
求极大强连通分量的Tarjan算法
首先，在有向图G中，如果两个顶点vi,vj间（vi<>vj）都有一条从vi到vj的有向路径，同时还有一条从vj到vi的有向路径，则称两个顶点强连通(strongly connected)。如果有向图G的每两个顶点都强连通，称G是一个强连通图。非强连通图有向图的极大强连通子图，称为强连通分量(strongly connected components)，如果一个强连通分量中不再能加入任何一个顶点，则这个强连通分量是一个极大强连通分量。
由上面的定义，可以知道，强连通分量中各点可以互相到达，则我们可以找到每个极大强通分量的“根结点”，再通过从底层节点向上推的方法求出一个极大强连通分量，所以关键在于求出根结点，所以这里加入两个数组，dfn,和low，其中dfn为搜索序号，表示第几个搜到该点，而low表示该节点向上最远可以回到的节点，显然当一个节点的dfn[i]=low[i]时，它就是这一个极大强连通分量的根，之后搜索到的点包含在这个极大强连通分量中，下面就要考虑一下如何取出这个极大强连通分量，于是维护一个栈，每搜索一个节点，就把它压入栈中，那么当我们发现根结点时，在它后面入栈的都是它代表的极大强连通分量中的节点，只需要弹栈直到根结点出栈即可。
【程序伪代码】
Dfs(k)
Inc(time); //搜索的序号变量
Low[x]=time //当前节点最远可以回到的点的时间戳
Dfn[x]=time //时间戳
Push(x) //入栈
Instack[x]=true //将x节点在栈中标记为真
For i=x的所有儿子
If 没有访问过 x //还没有被搜索过
Dfs(i)
Low[x]=Min(low[x],low[i])
//搜索之后发现儿子节点能到达的最早时间戳比x要早，则更新
Else //已经搜索过
If (i在栈中)and(dfn[i]<low[x])
//在栈中说明属于同一个强连通分量，而如果时间戳更早，显然需要更新
Low[x]=dfn[i]
If dfn[x]=low[x] //如果该节点是一个强连通的根结点
Inc(num) //强连通数增加
While true do
Pop //弹出该强连通的结点
Instack[stack[top]]=false//在栈内标记为假
If stack[top+1]=x//如果根结点已经输出
Break //跳出
View Code
1 program targan(input,output);
2 type
3 node = ^link;
4 link = record
5 goal : longint;
6 next : node;
7 end;
8 var
9 stack : array[1..1000] of longint;
10 l : array[1..1000] of node;
11 instack : array[1..1000] of boolean;
12 dfn : array[1..1000] of longint;
13 low : array[1..1000] of longint;
14 ans : array[1..1000] of longint;
15 num,e : longint;
16 m,n,top,cnt : longint;
17 procedure add(x,y: longint );
18 var
19 t : node;
20 begin
21 new(t);
22 t^.goal:=y;
23 t^.next:=l[x];
24 l[x]:=t;
25 end; { add }
26 procedure init;
27 var
28 i,x,y : longint;
29 begin
30 readln(n,m);
31 cnt:=0;
32 for i:=1 to n do
33 l[i]:=nil;
34 fillchar(instack,sizeof(instack),false);
35 for i:=1 to m do
36 begin
37 readln(x,y);
38 add(x,y);
39 end;
40 end; { init }
41 procedure dfs(x :longint );
42 var
43 t : node;
44 begin
45 inc(cnt);
46 dfn[x]:=cnt;
47 low[x]:=cnt;
48 inc(top);
49 stack[top]:=x;
50 instack[x]:=true;
51 new(t);
52 t:=l[x];
53 while t<>nil do
54 begin
55 if dfn[t^.goal]=0 then
56 begin
57 dfs(t^.goal);
58 if low[t^.goal]<low[x] then
59 low[x]:=low[t^.goal];
60 if dfn[t^.goal]<low[x] then
61 low[x]:=dfn[t^.goal];
62 end
63 else
64 if (instack[t^.goal]=true)and(dfn[t^.goal]<low[x]) then
65 begin
66 low[x]:=dfn[t^.goal];
67 end;
68 t:=t^.next;
69 end;
70 if low[x]=dfn[x] then
71 begin
72 inc(num);
73 while true do
74 begin
75 ans[stack[top]]:=num;
76 instack[stack[top]]:=false;
77 dec(top);
78 if stack[top+1]=x then
79 break;
80 end;
81 end;
82 end; { dfs }
83 procedure print;
84 var
85 i : longint;
86 begin
87 for i:=1 to n do
88 write(ans[i],'');
89 end; { print }
90 begin
91 init;
92 for e:=1 to n do
93 if dfn[e]=0 then
94 dfs(e);
95 print;
96 End.
