快速幂的原理及时间复杂度

快速幂

引例：计算2¹⁹

　　我们的思路是，把19拆开，拆成2的整数次幂之和，即19=16+2+1，则原式2¹⁹ = 2¹⁶⁺²⁺¹ = 2¹⁶ × 2² ×2¹

　　这样，19个2相乘就转化为3个数相乘，并且，由于这3个数的计算方法与二进制有着密切联系。因此我们可以采取二进制来依次获得这3个数。

快速幂原理：对于a^b，可将b转换为2进制按权相加式，其中每个有效权位对应一个中间数，通过这些中间数，我们可以大大减少运算量。从而快速进行幂运算。

 

对于一个十进制数b，如果找到≥b的最小整数c，其中整数c是2的整数次幂，则b可由log₂c位二进制数表示(2ⁿ=c > b，log₂c=n)。

令n = log₂c，b = x₀2⁰ + x₁2¹ + x₂2² + … + x_n-12^n-1。

再由a^b = a^b = a^(x₀2⁰ + x₁2¹ + x₂2² + … + x_n-12^n-1)，可以减少乘法操作的次数，先是基数2¹~2ⁿ，先进行了n次乘法，再由有效位(b的二进制形式中，数码为1的位)的位数m，额外进行m-1次的计算，则总共计算了n+m-1次，即得到计算次数不超过log₂c + m – 1次。从原来的乘n次变为现在的最多乘2log₂n次，因此，时间复杂度由原来的O（b）减小为现在的O（log₂b）。

 

例如，计算2⁶。

对于传统计算方法，需要将6个底数2相乘即:

2⁶ = 2×2×2×2×2×2 = 64，总共乘6次

而使用快速幂，则只需要分两步进行:

①    把6转换为2进制按权相加式:

6_D = (0 × 2⁰ + 1 × 2¹ + 1 × 2²)_D = 110_B这里基数2¹变为2²（6<2³=8，n=3，n-1=2，指数依次为0，1，2），总共乘了2次。

②    计算2⁶ = 2^6 =2^(0 × 2⁰ + 1 × 2¹ + 1 × 2²)，

把这个式子展开，则得到2^{2 +4} = 2² × 2⁴

由有效位(6的二进制形式中，数码为1的位)的位数为2，则额外的乘法次数为2-1=1

快速幂，一共进行了3次乘法

又如计算2¹⁰²⁵

传统方法要乘1025次

对于快速幂，由2¹~2¹⁰共10次，再由有效位(1025的二进制形式中，数码为1的位)的位数为2，则额外的乘法次数为2-1=1，所以共进行了11次乘法

 代码如下：

long long qpow(long long base, long long pow)
{
    long long res = 1;
    while(pow)
    {
        if(pow&1)
            res *= base;
        base *= base ;
        pow>>=1;11     }
    return res;
}

通常，由于int类型以及long long类型的数值范围限制，通常遇到的OJ题目（例如：UPC-7778快速幂求模）需要对运算结果取模：

long long qpow(long long base, long long pow, long long mod)
{
    long long res = 1 % mod;
    base %= mod;
    while(pow)
    {
        if(pow&1)
            res = (res * base) % mod;
        base = (base * base) % mod;
        pow>>=1;
    }
    return res;
}

 

对比枚举幂运算的次数，快速幂的确可以减少运算次数

例如求8⁶⁶⁶⁶ % 999，样例结果如下：

Enter a, b, p:
8 6666 999
Count of calculation: 44
a^b %p = 406