网络流各类算法简单总结与比较

信息学竞赛的算法理论分析是个深海,趁着没掉进去,写个总结,然后赶紧去刷题...

本人不是OI选手且对理论方面的研究很少,这只是我这些天(重新)入门网络流的一个小总结,问题是大大的有的,欢迎评论!

容量,流量,可行流,残量网络等等基础概念不赘述了

第一类,增广路算法(Augmenting-Path):

　　　　该类算法是基于路径/割的,由Ford和Fulkerson两个人提出,实际上代表了一类算法,:

　　　　从零流开始考虑,假如有这么一条路,这条路从源点开始到达汇点,并且这条路上的每一段都满足$Flow<C$,

　　　　则我们一定能找到这条路上的每一段的$C-Flow$的值当中的最小值$δ$

　　　　把这条路上每一段的$Flow$都加上这个$δ$,一定是一个可行流,这样我们就得到了一个更大的可行流,而这条路就叫做增广路

　　　　我们不断地从起点开始寻找增广路,每次都对其进行增广,直到找不到增广路为止。当找不到增广路的时候，当前的流量就是最大流

　　　　这也是增广路类网络流的核心思路,下来就是这么找增广路,怎么增广了

（1）Dfs寻找任意一个增广路,并沿着路进行增广复杂度为$O(E|Maxflow|)$这个算法一般认为这个是Ford-Fulkerson算法

　　　　实际上一般认为的FF算法是不寻找最短增广路也不划分层次图,每次只是对任意一个增广路去增广的算法.

（2）Edmonds-Karp/SAP/最短增广路算法利用BFS寻找最短增广路径,

　　　　由于存图方式的不同,邻接表$O(VE^2)$,邻接矩阵$O(V^3)$

（3）MPLA/最短路径增值算法在残量网络上引入层次，

　　　　构建层次图$O(V)$，$V$个阶段每个阶段多次BFS寻找增广路$O(E^2)$，总复杂度上界为$O(VE^2)$

（4）Dinic/Blocking Flow Algorithm/阻塞流算法用一次DFS代替MPLA的多次BFS增广

　　　　同样建立层次图$O(V)$，$V$个阶段,每个阶段一次DFS寻找增光路$O(VE)$，总复杂度上界为$O(V^2E)$.

（5）ISAP,一般认为是加入了GAP优化的SAP算法,时间效率和 Dinic差不多,可以说为 EK算法的优化版。时间复杂度$O(V^2E)$

(6) Capacity-Scaling/ScalingFord-Fulkerson/Bit-Scaling/容量缩放算法,

　　　　把容量视作二进位数字,从最高位开始,每回合添加一个位数,扩充流量,寻找增广路,填满多出的容量,达到最大流。

　　　　显然,当使用邻接矩阵时,复杂度$O(E^2log(Cmax)V^2)$,使用邻接表时是$O((V+E)Elog(Cmax)) $Cmax$为边上的最大容量

第二类,预流推进类算法

　　　该类算法是以点为基础的

　　　1.推进/push:

　　　　我们认为汇点是最低点,源点是最高的,推进模拟水流在图上流动到汇点的过程,我们每次先把水流流入中间节点,再逐步向后推进

　　　2.储流,过载/excess/overflowing:

　　　　为了实现推进,我们给每个点一个储流量,点就可以分为储流点/非储流点,储流点(也叫过载点),为了下一步的推进保存当前流量,

　　　　显然,对于任意一个点,实际上的流入==流出,换句话说,除了汇点和源点,所有点应该是不储流的,但显然目前是"过载"/overflowing的

　　　3.可行边/admissible edge与高度标号/height label:

　　　　给每个点进行高度标号,并规定只能从高点向地点流量,与层次图类似

　　　4.预流/preflow:

　　　　由于每次只到下一层推进,所以预先推进源点的流量到所有相邻点中

　　　5.重标号/relabel:

　　　　当一个点无法流动,就抬高它,让水可以回流/流到同高度的点上

　　　6.重回/retreat:

　　　　可以想见的是,所有中间节点都无法继续流下去,显然根据重标号,中间节点会愈来愈高,甚至高于源点,当所有的过载流量终将沿着反向边回流到源点,至此算法结束

　　　　实际过程中的基本框架就是对图上各点不断推进和重标号,直到无法进行为止,或者说,最大流存入汇点,多余的流量流回起点,所有其他点均不储流/不过载

　　　　最终汇点的储流量/源点所流出的流量,就是最大流。

　　　　下来就是怎么推进,怎么重标号了

　　1.朴素预流推进算法/Push-relabel algorithm with FIFO:

　　　　每个点重标号次数 $O(V)$ 一共 $O(V^2)$ ,邻接矩阵每推一次为 $O(V)$ 邻接表为常数

　　　　标号一共$O(V^3)$ 或 $O(EV^2)$

　　　　每个边可能被推进$O(V)$饱和情况下一共$O(VE)$非饱和情况下一共$O(EV^2)$

　　　　用一个队列保存储流点即可.

　　2.重标优先预流推进/Relabel-to-front Algorithm

　　　　建立链表,保存当前图的拓扑序形式,不含源点汇点,按照拓扑序取点,跳过非储流点,把之前被推进过的点重新放入表头,并推进

　　3.最高标号预流推进/Highest-Label Preflow-Push Algorithm/HLPP

　　　　使用优先队列,每次取出最高标号点进行推进,直到结束,理论复杂度$

O (n^{2} \sqrt{m})

$可以使用GAP优化!

其实也可以发现,高度标号和层次图有异曲同工之妙

最后给一个权威表格,甚至引入了动态树,不过没有HLPP算法

Method	Complexity	Description
Linear programming		Constraints given by the definition of a legal flow. See the linear program here.
Ford–Fulkerson algorithm	$$O(Emax\|f\|)$$	As long as there is an open path through the residual graph, send the minimum of the residual capacities on the path. The algorithm is only guaranteed to terminate if all weights are rational. Otherwise it is possible that the algorithm will not converge to the maximum value. However, if the algorithm terminates, it is guaranteed to find the maximum value.
Edmonds–Karp algorithm	$$O(VE^2)$$	A specialization of Ford–Fulkerson, finding augmenting paths with breadth-first search.
Dinic's blocking flow algorithm	$$O(V^2E)$$	In each phase the algorithms builds a layered graph with breadth-first search on the residual graph. The maximum flow in a layered graph can be calculated in $O(\min\{V^{2/3}, E^{1/2}\}E)$
MPM (Malhotra, Pramodh-Kumar and Maheshwari) algorithm	$O(V^3)$	Only works on acyclic networks. Refer to the Original Paper.
Dinic's algorithm	$$O(VE log(V))$$	The dynamic trees data structure speeds up the maximum flow computation in the layered graph to $O(V E log(V)).$
General push-relabel maximum flow algorithm	$$O(V^2E)$$	The push relabel algorithm maintains a preflow, i.e. a flow function with the possibility of excess in the vertices. The algorithm runs while there is a vertex with positive excess, i.e. an active vertex in the graph. The push operation increases the flow on a residual edge, and a height function on the vertices controls which residual edges can be pushed. The height function is changed with a relabel operation. The proper definitions of these operations guarantee that the resulting flow function is a maximum flow.
Push-relabel algorithm with FIFO vertex selection rule	$$O(V^3)$$	Push-relabel algorithm variant which always selects the most recently active vertex, and performs push operations until the excess is positive or there are admissible residual edges from this vertex.
Push-relabel algorithm with dynamic trees	$O\left(VE\log {\frac {V^{2}}{E}}\right)$	The algorithm builds limited size trees on the residual graph regarding to height function. These trees provide multilevel push operations.
KRT (King, Rao, Tarjan)'s algorithm	$O(EV\log _{\frac {E}{V\log V}}V)$
Binary blocking flow algorithm	$O\left(E\cdot \min(V^{\frac {2}{3}},{\sqrt {E}})\cdot \log {\frac {V^{2}}{E}}\log {U}\right)$	The value U corresponds to the maximum capacity of the network.
James B Orlin's + KRT (King, Rao, Tarjan)'s algorithm	$O(VE)$	Orlin's algorithm solves max-flow in $E\leq O(V^{{16 \over 15}-\epsilon })$