动态规划——dp的含义归类（完全背包和01背包区别）

1. 用dp表示总价值
2. 用dp表示组合数
   给出一个总数，一些物品，问能否凑成这个总数。

零钱兑换II https://leetcode.cn/problems/coin-change-ii/

完全背包

二维写法

for (int i = 0; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品
    for(int j = 0; j <= bagWeight; j++) { // 遍历背包容量
        if (j < weight[i]) dp[i][j] = dp[i - 1][j];
        else dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i][j - weight[i]] + value[i]);
    }
}

一维写法

// 先遍历物品，再遍历背包
for(int i = 0; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品
    for(int j = weight[i]; j < bagWeight ; j++) { // 遍历背包容量
        dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);

    }
}

为什么要先遍历物品，在遍历背包呢？ （灵魂拷问）

其实纯完全背包，先遍历物品，再遍历背包 与 先遍历背包，再遍历物品都是可以的。

零钱兑换II 不是纯完全背包（求是否能装满背包），而是求装满背包有几种方法。

这里在遍历顺序上可就有说法了。

• 如果求组合数就是外层for循环遍历物品，内层for遍历背包。
• 如果求排列数就是外层for遍历背包，内层for循环遍历物品。

为什么会有这种区别？

组合数 是不考虑顺序的，即只关心哪些硬币被选中了，不关心它们的顺序。第一个代码块中，每个硬币依次处理，确保了每个硬币只会按照固定顺序被考虑，因此不会重复计算顺序不同但硬币相同的组合。

排列数 是考虑顺序的，即不同顺序的硬币视为不同的方案。第二个代码块中，每次更新金额时，都考虑了所有硬币的排列，因此会计算所有可能的排列。

for (int j = 0; j <= amount; j++) { // 遍历背包容量
    for (int i = 0; i < coins.size(); i++) { // 遍历物品
        if (j - coins[i] >= 0) dp[j] += dp[j - coins[i]];
    }
}

每次更新容量时，遍历一遍所有物品作为当前可能要选择的物品

一维

遍历的时候和01背包不同，01背包需要内层（容量）倒序遍历。而完全背包不需要。这是因为完全背包的递推公式不一样：

如求组合数的递推公式：

完全背包：
二维递推公式：dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - coins[i]]
压缩成一维：dp[j] += dp[j - coins[i]]

01背包：
二维递推公式：dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i-1][j - coins[i]]
压缩成一维：dp[j] += dp[j - coins[i]]

区别： 01背包需要内层倒序遍历，防止覆盖前一层的值；完全背包不需要倒序遍历。

总结

求组合数：518.零钱兑换II
求排列数：377. 组合总和 Ⅳ 70. 爬楼梯进阶版（完全背包）
求最小数：322. 零钱兑换 、279.完全平方数