代码随想录——动态规划01背包

合集 - 代码随想录(35)

1.代码随想录-逆波兰式、滑动窗口最大值2024-10-292.代码随想录-栈与队列-有效的括号（括号匹配）2024-10-263.代码随想录——栈与队列8-前K个高频元素2024-10-304.二叉树的递归遍历和迭代遍历2024-11-085.代码随想录——二叉树-11.完全二叉树的节点个数2024-11-116.代码随想录——二叉树-12.平衡二叉树2024-11-117.代码随想录——二叉树17-路径总和2024-11-138.代码随想录——二叉树19.最大二叉树2024-11-219.代码随想录——二叉树21、合并二叉树（附：递归算法复杂度分析）2024-11-2210.代码随想录——二叉树23、验证二叉搜索树2024-11-2211.代码随想录——25二叉搜索树的最小绝对值差（递归遍历如何记录前后两个指针）2024-11-2512.代码随想录——25.二叉搜索树中的众数2024-11-2513.代码随想录——26、二叉(搜索)树的最近公共祖先2024-11-2614.代码随想录——回溯8、组合总和II2024-12-0415.代码随想录——回溯9.分割回文串2024-12-0516.代码随想录——回溯19重新安排行程2024-12-1217.代码随想录——回溯 N皇后2024-12-1418.代码随想录——贪心8.跳跃游戏II2024-12-1619.代码随想录——贪心9.K次取反后最大化的数组和 && std::sort函数的第三个参数说明2024-12-1620.代码随想录——贪心13.分发糖果2024-12-1721.代码随想录——贪心算法：根据身高重建队列 & Vector原理2024-12-2322.代码随想录——贪心算法22单调递增的数字2024-12-2523.代码随想录——贪心23监控二叉树2024-12-2624.代码随想录——动态规划5.周总结2024-12-2625.代码随想录——动态规划9不同的二叉搜索树2024-12-28

26.代码随想录——动态规划01背包2024-12-29

27.代码随想录——动态规划13.分割等和子集2024-12-2928.代码随想录——动态规划14最后一块石头的重量II（01背包）2024-12-3029.动态规划——dp的含义归类（完全背包和01背包区别）01-1930.动态规划——26单词拆分01-1931.代码随想录——动态规划背包问题总结01-1932.代码随想录——动态规划31打家劫舍III（树状DP）01-2033.代码随想录——动态规划、股票问题01-2334.代码随想录——单调栈02-0535.回溯总结02-11

收起

暴力：每一件物品其实只有两个状态，取或者不取，所以可以使用回溯法搜索出所有的情况，那么时间复杂度就是O(2^n)，这里的n表示物品数量。
所以暴力的解法是指数级别的时间复杂度。进而才需要动态规划的解法来进行优化！

二维dp数组01背包

1. 确定dp数组及下标含义
   dp[i][j]表示前i件物品恰放入一个容量为j的背包可以获得的最大价值。
   此时最后返回dp[n-1][w]即可

2. 确定递推公式
   dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]);
   解释：从“不放入第i件物品”与“放入第i件物品的价值 + 放入前i-1件物品到容量为j-weight[i]的背包可获得的最大价值”中选最大值

3. dp数组初始化

   1. 容量为0时，都为0
   2. 因为dp[i][j]需要用到dp[i-1][j]，所以需要初始化第一行。
      当j>=weight[0]时，dp[0][j]应该是value[0]；否则是0.

关于初始化，一定要和dp数组的定义吻合，否则到递推公式的时候就会越来越乱。

4. 确定遍历顺序
   先遍历物品再遍历容量 或相反都可以。因为递推公式用到的都是dp[i][j]左上的元素。

代码

#include<iostream>
#include<vector>
 
using namespace std;
 
int main(){
    int M,N;
    cin>>M>>N;
    vector<int> value(M);
    vector<int> cost(M);
    for(int i=0;i<M;i++){
        cin>>cost[i];
    }
    for(int i=0;i<M;i++){
        cin>>value[i];
    }
    vector<vector<int>> dp(M,vector<int>(N+1,0));//dp[M][N]是从0到M-1个材料中选择，容量为N时的最大价值
     
    //初始化
    for(int j=cost[0];j<=N;j++){
        dp[0][j] = value[0];
    }
    for(int i=1;i<M;i++){
        for(int j=0;j<=N;j++){
            if(j<cost[i])dp[i][j] = dp[i-1][j];
            else dp[i][j] = max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-cost[i]]+value[i]);
        }
    }
    cout<< dp[M-1][N];
     
    return 0;
}

一维dp数组01背包

二维递推公式dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]);
发现如果把dp[i - 1]那一层拷贝到dp[i]上，表达式完全可以是：dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i][j - weight[i]] + value[i]);

区别在于遍历顺序。

1. 容量只能从大到小遍历。
   如果从小到大，上一层的dp[j]会被覆盖，导致后续计算dp[i][j-weight[i]]时使用的是这一层的dp而出现错误。如果从大到小遍历，因为递推公式不会用到
2. 只能先遍历物品再遍历容量
   因为容量从大到小遍历，如果先遍历容量再遍历物品。算不出答案。

#include<iostream>
#include<vector>

using namespace std;

int main(){
    int M,N;
    cin>>M>>N;
    vector<int> value(M);
    vector<int> cost(M);
    for(int i=0;i<M;i++){
        cin>>cost[i];
    }
    for(int i=0;i<M;i++){
        cin>>value[i];
    }
    
    // 一维数组
    vector<int> dp(N+1,0);
    //初始化
    for(int j=cost[0];j<=N;j++){
        dp[j] = value[0];
    }
    //遍历顺序——容量从后往前
    for(int i=1;i<M;i++){
        for(int j=N;j>=cost[i];j--){
            dp[j] = max(dp[j],dp[j-cost[i]]+ value[i]);
        }
    }
    cout << dp[N];
    return 0;
}