前馈网络求导概论(一)·Softmax篇
Softmax是啥？
Hopfield网络的能量观点
1982年的Hopfiled网络首次将统计物理学的能量观点引入到神经网络中，
将神经网络的全局最小值求解，近似认为是求解热力学系统的能量最低点(最稳定点)。
为此，特地为神经网络定义了神经网络能量函数$E(x|Label)$，其中$x$为输入。
$E(x|Label)=-\frac{1}{2}Wx \Delta Y \quad where \quad \Delta Y=y-label$ (省略Bias项)
值得注意的是，这套山寨牌能量函数只能求出局部最小值，SVM用二次规划函数替换掉之后才能求全局最小值。
唯一的败笔是，Hopfiled网络的输出仍然采用了阶跃函数Sign，走的还是Rosenblatt的老路子。
这个能量函数非常有趣，它在阶跃函数状态下永远是递减的，即便是W永远是正的。(错误的随机初始化也是OK的)。
原因如下：
I、当阶跃函数输出为1时，Wx为正，若产生Loss，$\Delta Y=1-(-1)=2$，显然$\Delta YE(x|y)$为负。
II、当阶跃函数输出为-1时，Wx为负，若产生Loss，$\Delta Y=-1-(1)=-2$，显然$\Delta YE(x|y)$还是为负。
III、若无LOSS，$\Delta Y=1-1$或$(-1)-(-1)$都为0，$\Delta E(x|y)$也为0。
概率与Boltzmann机
祖师爷Hinton在1985年创立了第一个随机神经网络，首次将概率引入神经网络这个大玄学中。
值得一提的是，在当时概率图模型也是被公认为玄学之一，很多研究者认为，信概率还不如信神经网络。(今天倒是反过来了)
Boltzmann机延续了Hopfiled能量函数的传统，但是用一个奇葩的归一化函数来产生概率，以取代相对不精确的阶跃函数。
这个归一化函数描述如下：
$P(y)=\frac{1}{1+e^{\frac{-(Wx+b)}{T}}}$
其中T为温度系数，超参数之一，需要调参。
看起来怎么那么眼熟呢，扔掉T之后，这不就是Sigmoid函数么。
可以看到，Boltzmann机为了表达概率，选用了Sigmoid函数作为神经网络的概率平滑产生器。
多变量概率与限制Boltzmann机
1986年由Smolensky创立的限制Boltzmann机将Hopfiled网络的输出部折回，这样就产生了多变量的输出。
如何去表达此时多变量情况下的概率，能量模型—配分函数(Partition Function)解决了这一点：
$P(x)=\frac{e^{-E(x)}}{Z}=\frac{e^{-E(x)}}{\sum _{i}e^{-E(i)}}$
配分项Z是大家耳熟能详的恶心之物，它的求解让深度学习推迟了20年。
在深度学习被卡的20年间，配分项函数在多变量的判别模型中广泛推广，疑似是Softmax的雏形。
EBM(EnergyBased Model)
在LeCun的EBM教程Slides的介绍了配分判别函数，也就是今天的Softmax函数。
★The partition function ensures that undesired answers are given low probability
★For learning, we need to approximate the partition function (or its gradient with respect to the parameters)
顺便将其批判了一番：
★Max likelihood learning gives high probability to good answers
★Problem: there are too many bad answers!
这部分的观点可以参照PRML的序章关于贝叶斯拟合学习的讨论，采用配分判别的Loss、基于极大似然的频统方法
非常容易产生过拟合和弱泛化，贝叶斯学习和深度学习则引入先验Prior在极大似然的统计基础上做惩罚。
配分判别函数的定义如下：
$P(Y|X)=\frac{e^{-\beta}E(Y,X)}{\int_{y\in Y}e^{-\beta}E(y,X)}$
其中$\beta$为系数，扔掉之后就是Softmax函数。
SoftmaxLoss
$NLL = - \sum _{i}^{examples}\sum _{k}^{classes}l(y(i)=k)\cdot log[Softmax(X_{k}^{i})]$
不做过多介绍，见我的早期博文：Softmax回归
前向传播求Loss的时候只要记住一点区别：
I、在Logistic回归中，对每个样本，Loss-=$\log(1-Sigmoid)$或者Loss-=$\log(Sigmoid)$
II、在Softmax回归中，对每个样本，Loss只减去对应Label的$\log(Softmax)$
比较I、II也可以看出来，Logistic回归的二选一只是Softmax回归的N选一的特例。
泛型Softmax求导
尽管DeepLearning的基石是多样本与并行计算，但是在泛型章节中不考虑多样本情况。
求导描述将尽量与Caffe框架中的命名方式同步，以便于理解代码。
同时假定Softmax Axis上，命中Label的下标为k。
SoftmaxLoss
上图是在当单样本情况下，直接取Softmax Axis而画的，现在我们假设这是一个N=3的分类问题。(0,1,2)
同时取Class=2作为当前样本，命中的Label，即k=2。
由于Loss只和命中的分类有关，有：
$Softmax(X_{k})=\frac{e^{X_{k}}}{\sum _{i}e^{X_{i}}}$
则NLL (Negative-Log-Likelihood)为：
$NLL=-\log(Softmax(X_{k}))=-\log(\frac{e^{X_{K}}}{\sum _{i}e^{X_{i}}})\\ \quad \\ \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \; \; \,=\log(\sum _{i}e^{X_{i}})-log(e^{X_{k}}) \\ \quad \\ \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \; \; \, =\log(\sum _{i}e^{X_{i}})-X_{k}$
此时对于神经元$X_{k}$，有如下两种求导方案：
I、 $BottomDiff(k)=\frac{\partial NLL}{\partial Softmax(X_{k})}\frac{\partial Softmax(X_{k})}{\partial X_{k}}$
II、 $BottomDiff(k)=\frac{\partial NLL}{\partial X_{k}}$
其中，第一种是没有必要的，一般而言，Softmax的中间导数几乎不会用到。
除非我们让Softmax后面不接Loss，接其它的层，下一节会讲这种特殊情况，求导相当复杂。
现在考虑更一般的神经元$X_{i}$，对NLL求导：
$\frac{\partial \log(\sum _{i}e^{X_{i}})-X_{k}}{\partial X_{i}}=\left\{\begin{matrix}\frac{e^{X_{K}}}{\sum _{i}e^{X_{i}}} - 1 \quad (i\neq k) \\ \\\frac{e^{X_{K}}}{\sum _{i}e^{X_{i}}} \quad (i=k)\\ \\0 \quad (if \;ignore\;i)\end{matrix}\right.$
编程时：
对于①条件：先Copy一下Softmax的结果(即prob_data)到bottom_diff，再对k位置的unit减去1
对于②条件：直接Copy一下Softmax的结果(即prob_data)到bottom_diff
对于③条件：找到ignore位置的unit，强行置为0。
图示如下：
Softmax
在SoftmaxLayer中，我们将会遇到最普遍的反向传播任务：已知top_diff，求bottom_diff。
为了表述方便，设已知的top_diff的偏导表达式为：$\frac{\partial l}{Softmax(X)}$，则：
$BottomDiff(i)=\sum _{j}\frac{\partial l}{\partial Softmax(X_{j})}\frac{\partial Softmax(X_{j})}{\partial X_{i}}$
这是单独对Softmax求导的最麻烦之处，由于全连接性，输入神经元$X_{i}$将被全部的输出神经元污染。
更一般的，我们将其写成：
$BottomDiff(i)=\frac{\partial l}{\partial Softmax(X)}\frac{\partial Softmax(X)}{\partial X_{i}}$。
考虑$\frac{\partial Softmax(X_{j})}{\partial X_{i}}$，有：
$\frac{\partial Softmax(X_{j})}{\partial X_{i}}=\left\{\begin{matrix}-Softmax(X_{j})*Softmax(X_{i})+Softmax(X_{i}) \quad i=j\\ \\ -Softmax(X_{j})*Softmax(X_{i}) \quad i\neq j\end{matrix}\right.$
联合两部分后，有：
$\sum \left\{\begin{matrix}-Softmax(X_{j})*\frac{\partial l}{\partial Softmax(X_{j})}*Softmax(X_{i})+Softmax(X_{i})*\frac{\partial l}{\partial Softmax(X_{j})} \quad i=j\\ \\ -Softmax(X_{j})*\frac{\partial l}{\partial Softmax(X_{j})}*Softmax(X_{i}) \quad i\neq j\end{matrix}\right.$
提取公共项部分：
$BottomDiff(i)=Softmax(X_{i})\left \langle \sum {j}\left \{-Softmax(X_{j})*\frac{\partial l}{\partial Softmax(X_{j})}\right \}+\frac{\partial l}{\partial Softmax(X_{i}) })\right \rangle\\ \quad \\ \qquad \qquad \qquad \; \; \; =TopData(i)\left \langle - \sum {j}\left \{TopData(j)*TopDiff(j)\right \}+TopDiff(i) \right \rangle\\ \quad \\ \qquad \qquad \qquad \; \; \; =TopData(i)\left \langle - \left \{TopData \bullet TopDiff \right \} +TopDiff(i) \right \rangle$
Caffe中做了以下两点额外的优化：
I、由于对所有$X_{i}$，都要计算相同的点积项$\sum {j}\left \{TopData(j)*TopDiff(j)\right \}$，
一个简单优化是用GEMM做一次矩阵广播，这样，对每个样本的Softmax Axis轴上的多个单元，只需点积一次。
II、由于top_data与bottom_diff的shape相同，最外层top_data可基于全样本来乘，这在CUDA环境中，可以有效提升瞬时并行度。
空间Softmax求导
Fully Convolutional Networks for Semantic Segmentation
Caffe中将二轴Softmax(Batchsize/Softmax)扩展到了nD轴Softmax，用于全卷积网络。
这部分代码由此paper两位作者Jonathan Long&Evan Shelhamer加入，Github的History如下：
空间Soffmax是为了Dense Pixel Prediction(密集点预测)而生的，对于一张300x500的输入图像，
一次Softmax将产生300*500=15W个Loss，这属于神经网络——像素级理解，是目前最难的CV任务。
空间Softmax取消了Softmax前的InnerProduct做的Flatten，因为必须保证空间轴信息。
一个语义分割的图示如下：
GroundTruth、Outer_Num、Inner_Num
传统机器学习中的样本单数值Label，在ComputerVision中扩展为多数值Label后，即变成GroundTruth。
Caffe中采用以下格式来规范存储与读取：
对于GroundTruth的$outer:inner=(i,j)$位置，即第$i$个样本，空间$j$位置的Label，对应的Softmax向量如下：
$PixelExample=\left\{\begin{matrix}BottomData/BottomDiff(i*dim+0*inner+j) \quad class=0 \\
\quad \\ BottomData/BottomDiff(i*dim+1*inner+j) \quad class=1\\ \\ BottomData/BottomDiff(i*dim+2*inner+j) \quad class=2\\ \\...... \\ \\ BottomData/BottomDiff(i*dim+c*inner+j) \quad class=c\end{matrix}\right.$
这样，对于outer_num数量的输入图像，就变成了outer_num*inner_num个像素样本。
值得注意的是，目前最新的研究表明，在像素级的理解中，batch_size大于1是没有意义的，会严重减慢收敛速度。
输入单张图像时，SGD做密集点预测，不会导致偏离最终的局部最值点，因为15W的Loss近似可以看成batch_size=15,0000
空间Softmax(without GroundTruth)
从上节可知，空间轴(e.g. Height/Width)的引入，可看成是倍化了batch_size轴。
故在SoftmaxLayer中，对单样本图像的输入，需要多引入一次循环模拟多样本，循环量即inner_num。
对于泛型Softmax中的点积运算，由计算单点积值，需要变化至求一组$TopData \bullet TopDiff$：
同样设$outer:inner=(i,j)$，那么$j$位置的两组点积向量分别如下：
$\bullet \left\{\begin{matrix}TopData/TopDiff(i*dim+0*inner+j) \quad class=0\\ \\ .........\\ \\ TopData/TopDiff(i*dim+c*inner+j) \quad class=c\\ \end{matrix}\right.$
由于点积的元素每次都要跳跃inner_num个位置，可利用BLAS库做StridedDot运算，点积增量设为inner_num即可。
I、在GEMM矩阵广播优化中，原来只需要将单点积值广播成[classes,1]的矩阵，顺次在Softmax-Axis轴上减去，即：
从$TopDiff(i*dim)$的一段减去，由于无空间轴时，dim=classes，TopDiff的shape为[batch_size,classes]，
矩阵的值恰好填充到下一样本的开头。
扩展空间轴时，则需要减去[classes,inner_num]个值，注意由于此时的shape为[batch_size,classes,inner_num]，
如果你要线性覆盖，则需要先覆盖class=0的inner_num个值，所以一定要保证广播矩阵的shape为[classes,inner_num]。
然后再做一次向量减法。由于BLAS的GEMM运算支持$C=\beta C+\alpha AB $，可一步完成。
II、在最外围的top_data乘算中，由于top_data与bottom_diff的shape相同，扩展空间轴无需调整代码。
