二次函数和几何的综合

一、阅读材料，解答问题。

材料：“小聪设计的一个电子游戏是：一电子跳蚤从这P1(－3，9)开始，按点的横坐标依次增加1的规律，在抛物线上向右跳动，得到点P2、P3、P4、P5……(如图12所示)。过P1、P2、P3分别作P1H1、P2H2、P3H3垂直于x轴，垂足为H1、H2、H3，则

即△P1P2P3的面积为1。”

问题：

⑴求四边形P1P2P3P4和P2P3P4P5的面积(要求：写出其中一个四边形面积的求解过程，另一个直接写出答案)；

⑵猜想四边形Pn－1PnPn+1Pn+2的面积，并说明理由(利用图13)

⑶若将抛物线改为抛物线，其它条件不变，猜想四边形Pn－1PnPn+1Pn+2的面积(直接写出答案)（2004大连）

二、已知A1、A2、A3是抛物线上的三点，A1B1、A2B2、A3B3分别垂直于x轴，垂足为B1、B2、B3，直线A2B2交线段A1A3于点C。

（1） 如图11－1，若A1、A2、A3三点的横坐标依次为1、2、3，求线段CA2的长。

（2）如图11－2，若将抛物线改为抛物线，A1、A2、A3三点的横坐标为连续

整数，其他条件不变，求线段CA2的长。

（3）若将抛物线改为抛物线，A1、A2、A3三点的横坐标为连续整数，其他条件不变，请猜想线段CA2的长（用a、b、c表示，并直接写出答案）。（2005大连）

 

 

三、如图15，点P(－m，m2)抛物线：y = x2上一点，将抛物线E沿x轴正方向平移2m个单位得到抛物线F，抛物线F的顶点为B，抛物线F交抛物线E于点A，点C是x轴上点B左侧一动点，点D是射线AB上一点，且∠ACD = ∠POM．问△ACD能否为等腰三角形？

若能，求点C的坐标；若不能，请说明理由．

说明：⑴如果你反复探索，没有解决问题，请写出探索过程(要求至少写3步)；⑵在你完成⑴之后，可以从①、②中选取一个条件，完成解答(选取①得7分；选取②得10分)．

①m = 1；②m = 2．

附加题：如图16，若将26题“点C是x轴上点B左侧一动点”改为“点C是直线y =－m2上点N左侧一动点”，其他条件不变，探究26题中的问题．（2006大连）

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

四、如图，直线AB交x轴于点A(2，0)，交抛物线y＝ax2于点B(1，)，点C到△OAB各顶点的距离相等，直线AC交y轴于点D。当x＞0时，在直线OC和抛物线y＝ax2上是否分别存在点P和点Q，使四边形DOPQ为特殊的梯形？若存在，求点P、Q的坐标；若不存在，说明理由。

附加题：在26题中，抛物线的解析式和点D的坐标不变(如图)。当x＞0时，在直线y＝kx(0＜k＜1)和这条抛物线上，是否分别存在点P和点Q，使四边形DOPQ为以OD为底的等腰梯形。若存在，求点P、Q的坐标；若不存在，说明理由。(2007大连）

 

 

 

 

 

 

 

 

五、如图24－1，抛物线的顶点为P，A、B是抛物线上两点，AB∥x轴，四边形ABCD为矩形，CD边经过点P，AB = 2AD．

⑴求矩形ABCD的面积；

⑵如图24－2，若将抛物线“”，改为抛物线“”，其他条件不变，请猜想矩形ABCD的面积；

⑶若将抛物线“”改为抛物线“”，其他条件不变，请猜想矩形ABCD的面积(用a、b、c表示，并直接写出答案)．

附加题：若将24题中“”改为“”，“AB = 2AD”条件不要，其他条件不变，探索矩形ABCD面积为常数时，矩形ABCD需要满足什么条件？并说明理由．（2008大连模拟）

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

六、如图18，抛物线F：的顶点为P，抛物线：与y轴交于点A，与直线OP交于点B．过点P作PD⊥x轴于点D，平移抛物线F使其经过点A、D得到抛物线F′：，抛物线F′与x轴的另一个交点为C．

⑴当a = 1，b=－2，c = 3时，求点C的坐标(直接写出答案)；

⑵若a、b、c满足了

①求b：b′的值；

②探究四边形OABC的形状，并说明理由．（2009大连）

七、如图17，抛物线F：与轴相交于点C，直线经过点C且平行于轴，将向上平移t个单位得到直线，设与抛物线F的交点为C、D，与抛物线F的交点为A、B，连接AC、BC

（1）当，，，时，探究△ABC的形状，并说明理由；

（2）若△ABC为直角三角形，求t的值（用含a的式子表示）；

（3）在（2）的条件下，若点A关于轴的对称点A’恰好在抛物线F的对称轴上，连接A’C，BD，求四边形A’CDB的面积（用含a的式子表示）（2010大连）

已知二次函数y＝x2＋2x＋m的图象C1与x轴有且只有一个公共点.

   （1）求C1的顶点坐标；

   （2）将C1向下平移若干个单位后，得抛物线C2，如果C2与x轴的一个交点为A（—3，0），求C2的函数关系式，并求C2与x轴的另一个交点坐标；

   （3）若P(n，y1)，Q(2，y2)是C1上的两点，且y1＞y2，求实数n的取值范围.

如图，抛物线交轴于A、B两点（A点在B点左侧），交轴于点C，已知B（8，0），，△ABC的面积为8.

（1）求抛物线的解析式；

（2）若动直线EF（EF∥轴）从点C开始，以每秒1个长度单位的速度沿轴负方向平移，且交轴、线段BC于E、F两点，动点P同时从点B出发，在线段OB上以每秒2个单位的速度向原点O运动。连结FP，设运动时间秒。当为何值时，的值最大，并求出最大值；

（3）在满足（2）的条件下，是否存在的值，使以P、B、F为顶点的三角形与△ABC相似。若存在，试求出的值；若不存在，请说明理由。