几何变换下的几何题

一、如图8，△ABC和△A’B’C’关于直线MN对称，△A’B’C’和△A’’B’’C’’关于直线EF对称。

（1） 画出直线EF；

（2） 直线MN与EF相交于点O，试探究∠BOB’’与直线MN、EF所夹锐角α的数量关系。（2005大连）

二、如图13－1，操作：把正方形CGEF的对角线CE放在正方形ABCD的边BC的延长线上（CG＞BC），取线段AE的中点M。

探究：线段MD、MF的关系，并加以证明。

说明：（1）如果你经历反复探索，没有找到解决问题的方法，请你把探索过程中的某种思路写出来（要求至少写3步）；（2）在你经历说明（1）的过程之后，可以从下列①、②、③中选取一个补充或更换已知条件，完成你的证明。

注意：选取①完成证明得10分；选取②完成证明得

7分；选取③完成证明得5分。

① DM的延长线交CE于点N，且AD＝NE；

② 将正方形CGEF绕点C逆时针旋转45°（如图13－2），

其他条件不变；③在②的条件下且CF＝2AD。

附加题：将正方形CGEF绕点C旋转任意角度后（如图13－3），其他条件不变。探究：线段MD、MF的关系，并加以证明。（2005大连）

 

 

 

 

 

 

 

 

 

三、如图14－1，P为Rt△ABC所在平面内任意一点(不在直线AC上)，∠ACB = 90°，M为AB边中点．

操作：以PA、PC为邻边作平行四边形PADC，连续PM并延长到点E，使ME = PM，连结DE．

探究：⑴请猜想与线段DE有关的三个结论；

⑵请你利用图14－2，图14－3选择不同位置的点P按上述方法操作；

⑶经历⑵之后，如果你认为你写的结论是正确的，请加以证明；

如果你认为你写的结论是错误的，请用图14－2或图14－3加以说明；

(注意：错误的结论，只要你用反例给予说明也得分)

⑷若将“Rt△ABC”改为“任意△ABC”，其他条件不变，利用图14－4操作，并写出与线段DE有关的结论(直接写答案)．（2006大连）

四、两个全等的Rt△ABC和Rt△EDA如图放置，点B、A、D在同一条直线上。

操作：在图中，作∠ABC的平分线BF，过点D作DF⊥BF，垂足为F，连结CE。

探究：线段BF、CE的关系，并证明你的结论。

说明：如果你无法证明探究所得的结论，可以将“两个全等的Rt△ABC和Rt△EDA”改为“两个全等的等腰直角△ABC和等腰直角△EDA(点C、A、E在同一条直线上)”，其他条件不变，完成你的证明，此证明过程最多得2分。（2007大连）

五、如图25－1，正方形ABCD和正方形QMNP，∠M =∠B，M是正方形ABCD的对称中心，MN交AB于F，QM交AD于E．

⑴求证：ME = MF．

⑵如图25－2，若将原题中的“正方形”改为“菱形”，其他条件不变，探索线段ME与线段MF的关系，并加以证明．

⑶如图25－3，若将原题中的“正方形”改为“矩形”，且AB = mBC，其他条件不变，探索线段ME与线段MF的关系，并说明理由．

⑷根据前面的探索和图25－4，你能否将本题推广到一般的平行四边形情况？若能，写出推广命题；若不能，请说明理由．（2008大连模拟）

六、如图15，在△ABC和△PQD中，AC = k BC，DP = k DQ，∠C =∠PDQ，D、E分别是AB、AC的中点，点P在直线BC上，连结EQ交PC于点H．

猜想线段EH与AC的数量关系，并证明你的猜想．（2009大连）

七、如图12，ACB=，CDAB，垂足为D，点E在AC上，BE交CD于点G，EFBE交AB于点F，若AC=mBC，CE=kEA，探索线段EF与EG的数量关系，并证明你的结论

说明：如果你反复探索没有解决问题，可以选取（1）或（2）中的条件，选（1）中的条件完成解答满分为7分；选（2）中的条件完成解答满分为5分

（1） m=1（如图13）

（2） m=1，k=1（如图14）（2010大连）

已知∠MAN，AC平分∠MAN.

⑴ 在图1中，若∠MAN=120°，∠ABC=∠ADC=90°，我们可得结论：AB+AD=AC；

在图2中，若∠MAN=120°，∠ABC+∠ADC=180°，则上面的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；

【解】

（2）在图3中：（只要填空，不需要证明）.

①若∠MAN=60°，∠ABC+∠ADC=180°，则AB+AD= AC；

②若∠MAN=α（0°＜α＜180°），∠ABC+∠ADC=180°，则AB+AD= AC（用含α的三角函数表示）。