BZOJ 1485: [HNOI2009]有趣的数列

1485: [HNOI2009]有趣的数列

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Description

 我们称一个长度为2n的数列是有趣的，当且仅当该数列满足以下三个条件：

    (1)它是从1到2n共2n个整数的一个排列{a_i}；

    (2)所有的奇数项满足a₁<a₃<…<a_2n-1，所有的偶数项满足a₂<a₄<…<a_2n；

    (3)任意相邻的两项a_2i-1与a_2i(1≤i≤n)满足奇数项小于偶数项，即：a_2i-1<a_2i。

    现在的任务是：对于给定的n，请求出有多少个不同的长度为2n的有趣的数列。因为最后的答案可能很大，所以只要求输出答案 mod P的值。

Input

输入文件只包含用空格隔开的两个整数n和P。输入数据保证，50%的数据满足n≤1000，100%的数据满足n≤1000000且P≤1000000000。

Output

仅含一个整数，表示不同的长度为2n的有趣的数列个数mod P的值。

Sample Input

3 10

Sample Output

5
对应的5个有趣的数列分别为（1,2,3,4,5,6），（1,2,3,5,4,6），（1,3,2,4,5,6），（1,3,2,5,4,6），（1,4,2,5,3,6）。

HINT

Source

分析：

好神奇的解法...果然我还是对卡特兰数的理解不过深刻...

考虑如何满足这三个限制...我们把2n个数字从小到大填入这2n个位置，时刻满足任意前缀的已填奇数项个数大于等于已填的偶数项个数，这就是卡特兰数...

代码：

#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
using namespace std;

const int maxn=2000000+5;

int n,ans,cnt,mod,pri[maxn],vis[maxn],Min[maxn],tot[maxn];

inline void prework(void){
	for(int i=2;i<=n<<1;i++){
		if(!vis[i])
			pri[++cnt]=i,vis[i]=1,Min[i]=cnt;
		for(int j=1;j<=cnt&&1LL*pri[j]*i<=n<<1;j++){
			vis[pri[j]*i]=1,Min[pri[j]*i]=j;
			if(i%pri[j]==0){
				Min[pri[j]*i]=Min[i];
				break;
			}
		}
	}
}

inline void calc(int x,int y){
	if(x==1) return;
	tot[Min[x]]+=y,calc(x/pri[Min[x]],y);
}

signed main(void){
	scanf("%d%d",&n,&mod);prework();ans=1;
	for(int i=n+2;i<=2*n;i++) calc(i,1);
	for(int i=1;i<=n;i++) calc(i,-1);
	for(int i=1;i<=cnt;i++)
		while(tot[i])
			ans=1LL*ans*pri[i]%mod,tot[i]--;
	printf("%d\n",ans);
	return 0;
}

　　

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By NeighThorn